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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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donde si ricava che $\gamma '$ è il punto medio del segmento $d'e'$, cioè si ha $(d'e'\infty \gamma ')=-1$, epperò $(dec\gamma )=-1$. Similmente si dimostra essere $(deb\beta )=-1$, $(dea\alpha )=-1$; vale a dire $d,\,e$ sono i punti doppi dell’involuzione $(a\alpha ,b\beta ,c\gamma )$¹.

Il rapporto anarmonico $\lambda$ è dato dall’equazione 7), ossia è una radice cubica imaginaria di $-1$. Per conseguenza, i quattro punti $a\,b\,c\,d$ od $a\,b\,c\,e$ non possono essere tutti reali. L’equazione 9) ha il secondo membro negativo o positivo, secondo che $a'b'$ siano punti reali o imaginari coniugati. Dunque, se i tre punti dati $a,\,b,\,c$ sono tutti reali, i punti $d,\,e$ sono imaginari coniugati; ma se due de’ tre punti dati sono imaginari coniugati, i punti $d,\,e$ sono reali.

L’equazione 8) poi mostra che, se $a'b'=0$, anche $a'd'=a'e'=0$; cioè, se due de’ punti dati coincidono in un solo, in questo cadono riuniti anche i punti $d,\,e$.

27. Chiameremo equianarmonico un sistema di quattro punti, i cui rapporti anarmonici fondamentali siano eguali, ossia un sistema di quattro punti aventi per rapporti anarmonici le radici cubiche imaginarie di $-1$.

Quattro punti $m_{1}\,m_{2}\,m_{3}\,m_{4}$ in linea retta siano rappresentati (6) dall’equazione:

10)	$\mathrm {A} .{\overline {om}}^{4}+4\mathrm {B} .{\overline {om}}^{3}+6\mathrm {C} .{\overline {om}}^{2}+4\mathrm {D} .om+\mathrm {E} =0.$

Se il sistema di questi quattro punti è equianarmonico, si avrà:

$(m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})=(m_{1}m_{3}m_{4}m_{2}),$

ovvero, sostituendo ai segmenti $m_{1}m_{2},\dots$ le differenze $om_{2}-om_{1},\dots$:

$(om_{1}-om_{2})(om_{1}-om_{3})(om_{4}-om_{2})(om_{4}-om_{3})$ $+(om_{2}-om_{3})^{2}(om_{1}-om_{4})^{2}=0.$

Sviluppando le operazioni indicate, quest’equazione si manifesta simmetrica rispetto ai quattro segmenti $om$, onde si potrà esprimerla per mezzo dei soli coefficienti della 10). Ed invero, coll’aiuto delle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un’equazione, si trova senza difficoltà:

${\rm {AE-4BD+3C^{2}=0,}}$

come condizione necessaria e sufficiente affinchè i quattro punti rappresentati dalla 10) formino un sistema equianarmonico².

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1. Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage, Nürnberg 1856-57-60, p. 178.
2. Painvin, Équation des rapports anharmoniques etc. (Nouvelles Annales de Mathématiques, t. 19. Paris 1860, p. 412).