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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

di second’ordine aventi un punto comune $a$ ed ivi toccate da una stessa retta ${\rm {T}}$; ed inoltre un’altra curva qualunque ${\rm {C}}$ dotata di $r'$ rami passanti per $a$ ed ivi aventi la comune tangente ${\rm {T}}$. In tal caso il punto $a$ rappresenta $r'+1$ intersezioni di ${\rm {C}}$ con ciascuna delle curve ${\rm {K}}$; epperò equivale ad $r(r'+1)$ punti comuni a ${\rm {C}}$ ed al sistema completo delle curve ${\rm {K}}$.

Analogamente si dimostra che due curve, le cui classi siano $m,\,m'$, hanno $mm'$ tangenti comuni. Ecc.¹.

Art. VII.

Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe.

33. Se una curva dee passare per un dato punto $a$, ciò equivale manifestamente ad una condizione.

Per $a$ conducasi una retta ${\rm {A}}$; se la curva deve contenere anche il punto di ${\rm {A}}$ che è successivo ad $a$, cioè se la curva deve non solo passare per $a$, ma anche toccare ivi la retta ${\rm {A}}$, ciò equivale a due condizioni.

Per $a$ conducasi una seconda retta ${\rm {A_{1}}}$; se oltre ai due punti consecutivi di ${\rm {A}}$, la curva dovesse contenere anche quel punto di ${\rm {A_{1}}}$ che è successivo ad $a$, ciò equivarrebbe a tre condizioni. Ma in tal caso, due rette condotte per $a$ segherebbero ivi due volte la curva, cioè $a$ sarebbe un punto doppio per questa. Dunque, se la curva dee avere un punto doppio in $a$, ciò equivale a tre condizioni.

Se la curva deve avere in $a$ un punto doppio (tre condizioni), una retta qualunque ${\rm {A}}$ condotta per $a$ conterrà due punti di quella, coincidenti in $a$. Se la curva deve passare per un terzo punto successivo di ${\rm {A}}$, cioè se questa retta dovrà avere in $a$ tre punti comuni colla curva, ciò equivarrà ad una nuova condizione. Se lo stesso si esige per una seconda retta ${\rm {A_{1}}}$ e per una terza ${\rm {A_{2}}}$ (passanti per $a$), si avranno in tutto sei condizioni. Ma quando per $a$ passino tre rette, ciascuna delle quali seghi ivi tre volte la curva, quello è un punto triplo (31); dunque, se la curva dee avere in $a$ un punto triplo, ciò equivale a sei condizioni.

In generale: sia $x_{r-1}$ il numero delle condizioni, perchè la curva abbia in $a$ un punto $(r-1)^{plo}$. Ogni retta ${\rm {A}}$ condotta per $a$, avrà ivi $r-1$ punti comuni colla curva.

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1. Le proprietà delle curve di data classe si deducono dalle proprietà delle curve di dato ordine, e reciprocamente, mediante il principio di dualità, che noi consideriamo come primitivo ed assoluto, cioè indipendente da qualsivoglia teoria speciale di trasformazione di figure.