Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/37

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intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria. 23

Affinchè il punto:

U + iV = 0


divida la distanza fra i due:

U + hV = 0,     U + kV = 0


in parti tali che stiano fra loro come m : n, deve aversi:


ove A e B sono rispettivamente i risultati ottenuti col porre x = y = z = 1 nelle funzioni lineari U e V. Posto per i il suo valore, dopo alcune facili riduzioni, l’equazione precedente diviene:

B (BU — AV) = 0.


L’equazione:

B = 0


ossia la:

a (bc) x' + b (ca) y' + c (ab) z' = 0


dà la soluzione richiesta. L’altra equazione:

BU — AV = 0


ossia la:

(cz' — by') x + (ax' — cz') y + (by' — ax') z = 0


dà:

ax' = by' = cz'


caso particolare della B = 0.

L’equazione B = 0 rappresenta un punto situato a distanza infinita. Dunque le rette richieste sono parallele alla:

ax' = by' = cz'


cioè a quella retta della prima figura che ha la sua omologa a distanza infinita.

Così è dimostrato il seguente teorema, reciproco di uno notissimo dell’illustre geometra Chasles (Traité de Géométrie Supérieure, pag. 365):

In ciascuna figura le sole rette, che colle rispettive omologhe sono divise dai punti omologhi in parti proporzionali, sono le parallele a quella che ha la sua omologa nell’altra figura situata a distanza infinita.