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386 | introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
Per esempio: se la prima polare di ha un punto doppio , la conica polare di sarà il sistema di due rette segantisi in ; e viceversa.
(a) Se la data curva ha una cuspide , la conica polare di questo punto si risolve in due rette coincidenti nella retta che tocca in (72). Ciascun punto di questa retta può risguardarsi come un punto doppio della conica polare di ; dunque sarà un punto doppio della prima polare di , ossia:
Se la curva fondamentale ha una cuspide, la prima polare di un punto qualunque della tangente cuspidale passa due volte per la cuspide.
Queste prime polari aventi un punto doppio in formano un fascio (77, a); epperò fra esse ve ne sono due, per le quali è una cuspide (48). Una delle due prime polari cuspidate è quella che ha per polo lo stesso punto (72).
(b) L’ma polare di un punto rispetto all’ma polare di un altro punto abbia un punto doppio ; vale a dire (69, c), l’ma polare di rispetto all’ma polare di passi due volte per . Applicando all’ma polare di il teorema dimostrato per la curva (78), troviamo che l’ma polare di rispetto all’ma polare di ha un punto doppio in . Dunque:
Se l’ma polare di rispetto all’ma polare di ha un punto doppio , viceversa l’ma polare di rispetto all’ma polare di avrà un punto doppio in .
79. L’ma polare di abbia una cuspide ; l’ma polare di passerà due volte per (78). Se poi si designa con un punto qualunque della retta che tocca nella cuspide l’ma polare di , la prima polare di rispetto alla stessa ma polare di avrà un punto doppio in (78, a); epperò (78, b) la prima polare di rispetto all’ma polare di avrà un punto doppio in .
Da questa proprietà, fatto , discende:
Se la prima polare di ha una cuspide , ciascun punto della tangente cuspidale ha per conica polare, relativamente alla cubica polare di , un pajo di rette incrociantisi in .
È evidente che ciascuna di queste rette determina l’altra, vale a dire, tutte le analoghe paja di rette costituiscono un’involuzione (di secondo grado); onde nella tangente cuspidale vi saranno due punti, ciascun de’ quali avrà per conica polare (rispetto alla cubica polare di ) un pajo di rette riunite in una sola retta passante per .
Il punto è doppio per la conica polare (relativa alla cubica polare di ) di ciascun punto della tangente cuspidale; viceversa adunque (78) è un punto doppio della conica polare di (relativa alla cubica polare di ). Ossia: la retta che tocca la prima polare di nella cuspide , considerata come il sistema di due rette coincidenti, è la conica polare di rispetto alla cubica polare di .