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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Art. XVII.

Curve generate dalle polari, quando il polo si muova con legge data.

103. Se un punto, considerato come polo rispetto alla curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$, percorre un’altra curva data ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$, la retta polare inviluppa una curva ${\rm {K}}$, la quale abbiamo già trovato (81) essere della classe $m(n-1)$. Le tangenti che da un punto qualunque $o$ si possono condurre a ${\rm {K}}$ sono le rette polari degli $m(n-1)$ punti, ne’ quali ${\rm {C_{m}}}$ è intersecata dalla prima polare di $o$.

(a) Se $o$ è tal punto che la sua prima polare sia tangente a ${\rm {C_{m}}}$, due rette polari passanti per $o$ sono coincidenti, cioè $o$ è un punto della curva ${\rm {K}}$ (30); questa è dunque il luogo geometrico de’ poli le cui prime polari toccano ${\rm {C_{m}}}$. Questa proprietà ci mette in grado di trovare l’ordine di ${\rm {K}}$, cioè il numero de’ punti in cui ${\rm {K}}$ è incontrata da una retta arbitraria ${\rm {L}}$. Le prime polari de’ punti di ${\rm {L}}$ formano un fascio (77); onde, supposto che ${\rm {C_{m}}}$ abbia $\delta$ punti doppi, e $\chi$ cuspidi, vi saranno $m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )$ punti in ${\rm {L}}$, le cui prime polari sono tangenti a ${\rm {C_{m}}}$ (87, c). Dunque ${\rm {K}}$ è dell’ordine $m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )$ {cioè $2m(n-2)+\mathrm {M}$, ove ${\rm {M}}$ è la classe di ${\rm {C_{m}}}$}⁸³.

È poi evidente che le tangenti stazionarie di ${\rm {K}}$ sono le rette polari de’ punti stazionari di ${\rm {C_{m}}}$; donde segue che ${\rm {K}}$ ha $\chi$ flessi.

Conoscendo così la classe, l’ordine ed il numero de’ flessi della curva ${\rm {K}}$, mediante le formule di Plücker (99, 100) troveremo che essa ha inoltre:

${\frac {1}{2}}\left(m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )\right)^{2}-m(5m+6n-21)+10\delta +{\frac {27}{2}}\chi$ punti doppi,

$3m(m+n-4)-(6\delta +8\chi )$ cuspidi e ${\frac {1}{2}}m(n-2)(mn-3)+\delta$ tangenti doppie.

(b) È manifesto che ogni punto doppio di ${\rm {K}}$ è il polo di una prima polare tangente a ${\rm {C_{m}}}$ in due punti distinti; che ogni cuspide di ${\rm {K}}$ è il polo di una prima polare avente con ${\rm {C_{m}}}$ un contatto tripunto; e che ogni tangente doppia di ${\rm {K}}$ è una retta avente o due poli distinti sulla curva ${\rm {C_{m}}}$, o due poli riuniti in un punto doppio di questa curva.

Siccome le proprietà del sistema delle prime polari (relative a ${\rm {C_{n}}}$) valgono per una rete qualsivoglia di curve⁸⁴, così da quanto precede si raccoglie:

1.º Il numero delle curve d’una rete d’ordine $n-1$, le quali abbiano doppio contatto con una data linea d’ordine $m$, fornita di $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, è

${\frac {1}{2}}\left(m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )\right)^{2}-m(5m+6n-21)+10\delta +{\frac {27}{2}}\chi$.