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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

dunque le tangenti della Steineriana sono le rette polari dei punti dell’Hessiana. Ovvero (90, b):

La Steineriana è l’inviluppo di una retta che abbia due poli coincidenti.

(b) Questo teorema ci mena a determinare la classe della Steineriana. Le tangenti condotte a questa curva da un punto arbitrario $i$ hanno i loro poli nella prima polare di $i$, e questa sega l’Hessiana in $3(n-1)(n-2)$ punti. Dunque la Steineriana è della classe $3(n-1)(n-2)$.

(c) Siccome i flessi della curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ sono punti dell’Hessiana (100), così le rette polari dei medesimi, cioè le tangenti stazionarie di ${\rm {C_{n}}}$, sono anche tangenti della Steineriana.

I punti della Steineriana che corrispondono ai flessi di ${\rm {C_{n}}}$, considerati come punti dell’Hessiana, giacciono nelle tangenti stazionarie della curva fondamentale; queste tangenti adunque toccano anche la curva della classe $3(n-1)(n-2)$, inviluppo delle indicatrici dei punti dell’Hessiana (114, b).

(d) Secondo il teorema generale (103), l’$(n-1)$^ma polare dell’Hessiana, cioè l’inviluppo delle rette polari de’ punti dell’Hessiana, è una curva ${\rm {K}}$ della classe $3(n-1)(n-2)$ e dell’ordine $3(n-2)(5n-11)$, della quale fa parte la Steineriana.

Se $i$ è l’intersezione di due rette tangenti alla Steineriana, ciascuna di esse ha un polo nell’Hessiana, e per questi due poli passa la prima polare di $i$. Se le due tangenti vengono a coincidere, i due poli si confondono in un sol punto, nel quale l’Hessiana sarà toccata dalla prima polare di $i$; epperò quest’ultimo sarà un punto dell’$(n-1)$^ma polare dell’Hessiana, riguardata come il luogo dei poli delle prime polari tangenti all’Hessiana medesima. Ma i punti $i$, ne’ quali può dirsi che coincidano due successive tangenti della Steineriana, sono, oltre ai punti di questa curva, quelli situati in una qualunque delle tangenti stazionarie della curva medesima. Per conseguenza la linea ${\rm {K}}$, $(n-1)$^ma polare dell’Hessiana, è composta della Steineriana e delle tangenti stazionarie di questa. Ossia, la Steineriana ha $3(n-2)(5n-11)-3(n-2)^{2}=3(n-2)(4n-9)$ tangenti stazionarie.

Della Steineriana conosciamo così l’ordine $3(n-2)^{2}$, la classe $3(n-1)(n-2)$ ed il numero $3(n-2)(4n-9)$ de’ flessi. Onde, applicandovi le formole di Plücker (99, 100), troveremo che la Steineriana ha $12(n-2)(n-3)$ cuspidi, ${\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-9n-5)$ punti doppi e ${\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-3n-8)$ tangenti doppie.

Se al numero delle cuspidi s’aggiunge due volte quello de’ flessi, se al numero delle tangenti doppie si aggiunge quello delle stazionarie, e se il numero de’ punti doppi è sommato col numero de’ punti in cui le tangenti stazionarie segano la Steineriana e