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Riprendiamo la quantità di moto del fotone ed il numero d’onda . Sostituendo l’impulso con la quantità di moto della particella , si ottiene il numero d’onda . Essendo per definizione , si ricava la lunghezza d’onda , fotocopia esatta dell’espressione di Einstein .
Questo procedimento è completamente analogico. Non avendo basi sperimentali, de Broglie fece l’ipotesi euristica che l’energia di riposo fosse connessa ad una oscillazione interna alla particella, ipotesi da verificare a posteriori in base ai risultati. Applicando assiomaticamente la legge di Planck all’energia , la particella ferma si associa alla frequenza , quindi per la particella in movimento abbiamo:
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Le caratteristiche di questo parametro sono totalmente assurde, per es. la particella ferma risulta associata ad una velocità di fase infinita. De Broglie si impegnò molto per giustificare questa ipotesi che definì “teoria dell’onda-di-fase”. Tra l’altro inventò il “Teorema dell’armonia di fase”, sul quale ancora oggi i cultori dissertano compiaciuti. De Broglie sapeva bene che né energia né informazione possono viaggiare a velocità maggiore della luce, quindi precisò che l’onda-di-fase non si doveva considerare un fenomeno fisico reale, quindi la definì onda fittizia.
Ma l’uomo era fortunato, la sua “intuizione” era più efficace del suo ragionamento. Nel 1927 Davisson e Germer, abilissimi fisici sperimentali, osservando emissioni prodotte da elettroni incidenti su un cristallo di nickel scoprirono fenomeni di diffrazione analoghi a quelli dei raggi X. In questo caso le figure di diffrazione non erano prodotte dalla radiazione, ma da particelle materiali.