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APPUNTI DI RELATIVITÀ

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RELAZIONI PRELIMINARI

Si definisce relazione di dispersione quella fra i parametri $\omega$ e $k$, da cui si ricava l’equazione d’onda che descrive l’evoluzione del fenomeno ondulatorio nello spazio e nel tempo. Per ottenere queste importanti espressioni occorre richiamare alcuni concetti fondamentali e stabilire alcune relazioni preliminari.

Nella Teoria delle onde si definisce funzione d’onda $\Psi$ un parametro che rappresenta una grandezza fisica periodica, funzione della posizione e del tempo. Nel caso più semplice questo parametro ha un andamento periodico di tipo sinusoidale. Considerando per es. un’onda marina, la funzione d’onda rappresenta l’altezza della superficie liquida in ogni punto in funzione del tempo.

I parametri $\omega$ e $k$ definiscono l’espressione della funzione d’onda $\Psi$:0

$\Psi (\mathbf {x} ,t;k,\omega )=\exp {i(kx-\omega t)}$.

Poiché vedremo diverse teorie che trattano della stessa classe di fenomeni, nel seguito i parametri $\omega$ e $k$ non saranno esplicitati per consentire un confronto diretto più semplice ed immediato fra le differenti espressioni.

Differenziamo la funzione d’onda $\Psi$ rispetto al tempo:

${\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =i\omega \Psi$

$\Rightarrow$

$\omega ={\frac {i}{\Psi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi$

Differenziamo $\Psi$ due volte rispetto al tempo:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\Psi =-\omega ^{2}\Psi$

$\Rightarrow$

$\omega ^{2}=-{\frac {1}{\Psi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\Psi$