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PARTICELLE-DI-LUCE E ONDE-DI-MATERIA

Differenziamo $\Psi$ due volte rispetto a $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$:

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\Psi +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\Psi +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{3}^{2}}}\Psi \right)=-k^{2}\Psi$.

Applichiamo l’operatore di Laplace $\nabla ^{2}\equiv \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{3}^{2}}}\right)$,

l’espressione precedente diventa:

$k^{2}=-{\frac {1}{\Psi }}\nabla ^{2}\Psi$

Si ottengono espressioni molto più sintetiche introducendo il potente operatore di d’Alembert:

$\Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$.

Riprendiamo ora la relazione fondamentale di Einstein $E=mc^{2}\gamma$, dalla quale si ricava:

$E^{2}(1-u^{2}/c^{2})=m^{2}c^{4}$,

$E^{2}-c^{2}m^{2}u^{2}\gamma ^{2}=m^{2}c^{4}$,

$E^{2}-c^{2}p^{2}=m^{2}c^{4}$.

Da questa notissima espressione si ottiene:

$E^{2}-c^{2}p^{2}=\left(E_{\mathrm {O} }\right)^{2}$

$E^{2}+\left[\left(E_{\mathrm {O} }\right)^{2}-2EE_{\mathrm {O} }\right]-c^{2}p^{2}=\left(E_{\mathrm {O} }\right)^{2}+\left[\left(E_{\mathrm {O} }\right)^{2}-2EE_{\mathrm {O} }\right]$

$\left(E-E_{\mathrm {O} }\right)^{2}-c^{2}p^{2}=-2E_{\mathrm {O} }\left(E-E_{\mathrm {O} }\right)$

$\Delta E^{2}-c^{2}p^{2}=-2mc^{2}\Delta E$