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PARTICELLE-DI-LUCE E ONDE-DI-MATERIA

EQUAZIONE DI KLEIN-GORDON - (Teoria di de Broglie).

Riprendiamo la relazione forse più “venerata” da molti fisici teorici:

$E^{2}-c^{2}p^{2}=m^{2}c^{4}$.

Si sostituiscono i parametri di de Broglie $E=\hbar \omega _{\mathrm {B} }$ e $p=\hbar k_{\mathrm {B} }$:

$\omega _{\mathrm {B} }^{2}-c^{2}k_{\mathrm {B} }^{2}={\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}$.

Questa relazione di dispersione corrisponde alla teoria di de Broglie, e tuttavia non si trova nella sua tesi di dottorato del 1923. Sostituendo le espressioni per $\omega ^{2}$ e $k^{2}$, si ricava la seguente equazione di Klein-Gordon:

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\Psi -\nabla ^{2}\Psi =-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\Psi$.

In forma dalembertiana diventa:

$\Box \Psi =-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\Psi$.

Ponendo $m=0$ si ottiene l’equazione di d’Alembert, questo è congruente col fatto che la teoria di de Broglie è basata sui parametri della radiazione.

Notiamo che la teoria di de Broglie e l’equazione Klein-Gordon derivano entrambe dalla relazione $E^{2}-c^{2}p^{2}=m^{2}c^{4}$, che fa riferimento all’energia di riposo $E_{\mathrm {O} }=mc^{2}$. Questa quantità non ha nessuna parte nelle interazioni d’urto, ma implica la frequenza $\omega _{\mathrm {B} }=E/\hbar$, dalla quale deriva l’assurda velocità di fase di de Broglie $V_{\mathrm {B} }=c^{2}/u$. Per conseguenza di questa scelta sbagliata è ben noto che le soluzioni dell’equazione di Klein-Gordon risultano del tutto incongruenti rispetto ai dati sperimentali.