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APPUNTI DI RELATIVITÀ

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EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER.

Poiché la teoria di Schrödinger non considera l’energia di riposo $E_{\mathrm {O} }$, si fa riferimento alla relazione:

$\Delta E^{2}-c^{2}p^{2}=-2mc^{2}\Delta E$.

La formulazione di Schrödinger si basa su parametri classici, validi soltanto per velocità $u\ll c$. Si verifica facilmente che per $u\leq c/10$ il primo termine $\Delta E^{2}$ diventa trascurabile rispetto agli altri, a causa del fattore $c^{2}$, pertanto la relazione precedente diventa:

$-c^{2}p^{2}=-2mc^{2}\Delta E$.

Sostituendo i parametri di Schrödinger $\Delta E_{\mathrm {S} }=\hbar \omega _{\mathrm {S} }$ e $p_{\mathrm {S} }=\hbar k_{\mathrm {S} }$ si ricava la relazione di dispersione:

$c^{2}k_{\mathrm {S} }^{2}=-2\omega _{\mathrm {S} }{\frac {mc^{2}}{\hbar }}$.

Sostituendo le espressioni differenziali di $\omega$ e $k^{2}$, si ottiene:

$\nabla ^{2}\Psi =i{\frac {2m}{\hbar }}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi$.

Questa è la famosa equazione di Schrödinger per la particella libera . Per $m=0$ non si ottiene l’equazione di d’Alembert della radiazione. Questa circostanza è congruente col fatto che l’equazione di Schrödinger vale soltanto nel campo delle velocità non-relativistiche.

In verità Schrödinger ha seguito un diverso procedimento per ottenere questa equazione, che è più nota nella forma equivalente:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi$.