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I FONDAMENTI

Il problema fu risolto in modo indipendente da Poincaré e da Einstein. Nel caso generale ($u\neq U$), le trasformazioni di Lorentz sono:

$x'=\Gamma \left(x-Ut\right);\quad t'=\Gamma \left(t-{\frac {U}{c^{2}}}x\right);\quad \Gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-U^{2}/c^{2}}}}$

(La lettera greca $\Gamma$ si legge “gamma maiuscola”).

La velocità dell’oggetto vista da S’ è data dal rapporto $x'/t'=u'$:

$u'={\frac {x'}{t'}}={\frac {x-Ut}{t-xU/c^{2}}}$.

Essendo $x=ut$ si ottiene la differenza relativistica fra u ed U:

$u'={\frac {u-U}{1-uU/c^{2}}}$.

Per due velocità $u_{\mathrm {a} }$ e $u_{\mathrm {b} }$ qualsiasi, l’espressione si generalizza in:

$u={\frac {u_{\mathrm {a} }\pm u_{\mathrm {b} }}{1\pm u_{\mathrm {a} }u_{\mathrm {b} }/c^{2}}}$.

Questa espressione è confermata dai risultati sperimentali, e viene definita composizione relativistica delle velocità. Poniamo che sia $u_{\mathrm {a} }=c$ e $u_{\mathrm {b} }=2c$, la somma algebrica darebbe $u=3c$, mentre dalla composizione relativistica risulta $u=c$. Ciò significa che la velocità della luce è costante, e non dipende dalla velocità della sorgente.

Tuttavia la velocità della sorgente rispetto all’osservatore non è senza effetto, infatti secondo che sorgente ed osservatore si avvicinano o si allontanano, la frequenza della luce vista dall’osservatore aumenta o diminuisce, ed i colori appaiono più blu o più rossi.