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APPUNTI DI RELATIVITÀ

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$={\frac {1-uU/c^{2}}{{\sqrt {1-\left(u/c\right)^{2}}}{\sqrt {1-\left(U/c\right)^{2}}}}}=\gamma \,\Gamma \left(1-{\frac {uU}{c^{2}}}\right)$.
Riassumendo:

$\gamma '=\gamma \,\Gamma \left(1-uU/c^{2}\right)$

L’espressione è simmetrica rispetto a $\gamma$ e $\Gamma$, e rispetto ad $u$ e $U$, scambiandole si ha:

$\Gamma '=\gamma \,\Gamma \left(1-uU/c^{2}\right)=\gamma '$.

Notiamo che $\gamma '=\Gamma '$ è diretta conseguenza della relazione $u'=-U'$. In generale date due velocità $u_{\mathrm {a} }$ e $u_{\mathrm {b} }$, il fattore di Lorentz della loro composizione $u_{\mathrm {c} }$ risulta:

$\gamma _{\mathrm {c} }=\gamma _{\mathrm {a} }\gamma _{\mathrm {b} }\left(1\pm u_{\mathrm {a} }u_{\mathrm {b} }/c^{2}\right)$

dove

$\gamma _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left(u_{\mathrm {c} }/c\right)^{2}}}}$,

$u_{\mathrm {c} }={\frac {u_{\mathrm {a} }\pm u_{\mathrm {b} }}{1\pm u_{\mathrm {a} }u_{\mathrm {b} }/c^{2}}}$.

Ricaviamo il prodotto: $u'\gamma '={\frac {u-U}{1-uU/c^{2}}}\,\gamma \,\Gamma \left(1-uU/c^{2}\right)$.
Infine abbiamo:

$u'\gamma '=\gamma \,\Gamma \left(u-U\right)$