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I FONDAMENTI

Ricaviamo la trasformazione del tempo proprio $\tau =t/\gamma$:

$\tau '={\frac {t'}{\gamma '}}={\frac {\Gamma \left(t-xU/c^{2}\right)}{\gamma \,\Gamma \left(1-uU/c^{2}\right)}}$.

Essendo $x=ut$:

$\tau '={\frac {t\left(1-uU/c^{2}\right)}{\gamma \left(1-uU/c^{2}\right)}}=t/\gamma =\tau$

Il risultato $\tau '=\tau$ prova che il tempo proprio è invariante per ogni sistema di riferimento.
Dall’espressione $\tau =t/\gamma$ si ricava:

$c^{2}\tau ^{2}=c^{2}t^{2}/\gamma ^{2}=c^{2}t^{2}\left(1-u^{2}/c^{2}\right)=c^{2}t^{2}-x^{2}$.

L’espressione $\left(c^{2}t^{2}-x^{2}\right)$ è nota come forma quadratica di Poincaré, pomposamente definita invariante fondamentale della Relatività. In realtà esprime soltanto l’invarianza del prodotto $c^{2}\tau ^{2}$, cioè il fatto che la velocità della luce non dipende dal sistema di riferimento dell’osservatore

ENERGIA E QUANTITÀ DI MOTO

Per un oggetto di massa $m$ e velocità $u$, nella Meccanica classica di Newton si definiscono le quantità seguenti:

energia cinetica:	$T=mu^{2}/2$;
quantità di moto:	$p=mu$.

Newton formulò queste espressioni per via logico-matematica, ignorando che la velocità avesse un limite superiore non superabile. Dalla Relatività sappiamo le relazioni di Newton valgono soltanto per $u\ll c$.