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LA MECCANICA DI MINKOWSKI

Per ogni punto-evento $\mathrm {P} (\mathbf {r} ,t)$ sono fissati tutti punti della retta $\mathrm {OP}$ ed il parametro:

$\mathbf {r} /t=\mathbf {u} (u_{\mathrm {x} },u_{\mathrm {y} },u_{\mathrm {z} })$.

Estrapolando le espressioni valide per lo spazio a tre dimensioni, il raggio-vettore ed il modulo relativi al punto-evento $\mathrm {P} (x,y,z,ct)$ sarebbero:

$\mathbf {R} (\mathbf {r} ;ct)$,

$\left|\mathbf {R} \right|={\sqrt {r^{2}+c^{2}t^{2}}}$.

Ma Minkowski assume come distanza ${\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}$, per cui risulta:

$\mathbf {R_{\mathrm {M} }} (ct;\mathbf {r} )$,

$\left|\mathbf {R_{\mathrm {M} }} \right|={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}$.

[I quadri-vettori di Minkowski saranno sempre identificati dal pedice $(_{\mathrm {M} })$].

Il termine $\mathbf {r} (x,y,z)$ è la componente spaziale del punto-evento $P(\mathbf {r} ,t)$, il modulo $\left|\mathbf {R} _{\mathrm {M} }\right|^{2}=c^{2}t^{2}-r^{2}$ è l’invariante di Poincaré con i segni invertiti.

Evidenziando il vettore velocità $\mathbf {u} =\mathbf {r} /t$ ed il tempo proprio $\tau =t/\gamma$, abbiamo:

$\mathbf {R_{\mathrm {M} }} (ct;\mathbf {u} t)$;

$\left|\mathbf {R_{\mathrm {M} }} \right|=ct/\gamma =c\tau$

L’invarianza del modulo $\left|\mathbf {R_{\mathrm {M} }} \right|$ deriva quella del tempo proprio $\tau =\tau '$:

$\left|\mathbf {R_{\mathrm {M} }} \right|=c\tau =c\tau '=\left|\mathbf {R'_{\mathrm {M} }} \right|$.

Un evento tipico può essere la caduta del fulmine su un albero. Se cadono due fulmini su alberi differenti in tempi successivi, si misura facilmente l’intervallo di tempo fra i fulmini. Questo intervallo $t$ rappresenta la separazione temporale fra l’evento-origine (il primo fulmine) e l’evento corrispondente al secondo fulmine.

Per quanto riguarda la separazione spaziale, se iniziamo la misura in coincidenza col primo fulmine, il secondo evento (la caduta del secondo fulmine) non si è ancora verificato. Un istante dopo la caduta del primo fulmine abbiamo un albero bruciato, ma il primo evento non esiste più.