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APPUNTI DI RELATIVITÀ

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Essendo $m\mathbf {u} _{\mathrm {d} }\gamma _{\mathrm {d} }=m\mathbf {u} \gamma$ risulta:

$\gamma _{\mathrm {d} }=\gamma$

$\Rightarrow$

$\gamma =(\gamma -1)$

$\Rightarrow$

$1=0$

!!!

Evidentemente il vettore differenza $\mathbf {P} _{\mathrm {d} }$ non può essere dello stesso tipo dei quadri-momenti $\mathbf {P} _{\mathrm {M} }$, circostanza confermata anche dal modulo:

$\left|\mathbf {P} _{\mathrm {d} }\right|^{2}=m^{2}c^{2}(\gamma -1)^{2}-m^{2}u^{2}\gamma ^{2}=$

$=m^{2}c^{2}\left[\gamma ^{2}\left(1-u^{2}/c^{2}\right)+1-2\gamma \right]=-2m^{2}c^{2}\left(\gamma -1\right).$

Finalmente abbiamo: $\left|\mathbf {P} _{\mathrm {d} }\right|=\left|\mathbf {P} _{\mathrm {M} }-\mathbf {P} _{\mathrm {O} }\right|=imc{\sqrt {2(\gamma -1)}}$.

Applicando le stesse regole di Minkowski, risulta che il vettore differenza $\mathbf {P} _{\mathrm {d} }$ ha modulo immaginario! Questi risultati provano che la formulazione è in contraddizione con se stessa.

Per semplificare il calcolo abbiamo considerato il vettore $\mathbf {P} _{\mathrm {O} }(mc;0)$, ma lo stesso risultato si ottiene per qualsiasi coppia di vettori $\mathbf {P} _{\mathrm {a} }$ e $\mathbf {P} _{\mathrm {b} }$. Infatti per la differenza $\mathbf {P} _{\mathrm {d} }[mc(\gamma _{\mathrm {a} }-\gamma _{\mathrm {b} });m(\mathbf {u} _{\mathrm {a} }\gamma _{\mathrm {a} }-\mathbf {u} _{\mathrm {b} }\gamma _{\mathrm {b} })]$ abbiamo:

$\left|\mathbf {P} _{\mathrm {d} }\right|^{2}=m^{2}c^{2}\left(\gamma _{\mathrm {a} }-\gamma _{\mathrm {b} }\right)^{2}-m^{2}\left(\mathbf {u} _{\mathrm {a} }\gamma _{\mathrm {a} }-\mathbf {u} _{\mathrm {b} }\gamma _{\mathrm {b} }\right)^{2}=$

$=m^{2}c^{2}[\gamma _{\mathrm {a} }^{2}(1-u_{\mathrm {a} }^{2}/c^{2})+\gamma _{\mathrm {b} }^{2}(1-u_{\mathrm {b} }^{2}/c^{2})-2\gamma _{\mathrm {a} }\gamma _{\mathrm {b} }(1-u_{\mathrm {a} }u_{\mathrm {b} }/c^{2})]=$

$=2m^{2}c^{2}[1-\gamma _{\mathrm {a} }\gamma _{\mathrm {b} }(1-u_{\mathrm {a} }u_{\mathrm {b} }/c^{2})]$.

Per la differenza di due velocità $u_{\mathrm {d} }={\frac {u_{\mathrm {a} }-u_{\mathrm {b} }}{1-u_{\mathrm {a} }u_{\mathrm {b} }/c^{2}}}$, il fattore di Lorentz risulta $\gamma _{\mathrm {d} }=\gamma _{\mathrm {a} }\gamma _{\mathrm {b} }(1-u_{\mathrm {a} }u_{\mathrm {b} }/c^{2})$, per conseguenza si ottiene:

$\left|\mathbf {P} _{\mathrm {d} }\right|^{2}=-2(mc)^{2}(\gamma _{\mathrm {d} }-1)\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\left|\mathbf {P} _{\mathrm {d} }\right|=imc{\sqrt {2\gamma _{\mathrm {d} }-1}}$.

Evidentemente il risultato è del tutto differente dal modulo $\left|\mathbf {P} \right|=mc$.