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APPUNTI DI RELATIVITÀ

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Per omogeneità dimensionale si deve introdurre un fattore $\alpha$ con le dimensioni di una velocità, in modo che il prodotto $\alpha \Delta t$ abbia le dimensioni di una lunghezza. La distanza spazio-temporale assume allora la forma:

$L={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}+\alpha ^{2}\Delta t^{2}}}$.

In configurazione standard abbiamo $\Delta y=\Delta z=0$, quindi si può scrivere:

$L={\sqrt {\Delta x^{2}+\alpha ^{2}\Delta t^{2}}}$.

Per la separazione $L$ devono valere i tre criteri di validazione, in particolare deve valere la condizione di invarianza $L'=L$:

$\left(\Delta x'\right)^{2}+\left(\alpha \Delta t'\right)^{2}=\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\alpha \Delta x\right)^{2}$.

Dalle trasformazioni di Lorentz in forma esplicita si ottiene:

$\left(\Delta x'\right)^{2}+\left(\alpha \Delta t'\right)^{2}=\Gamma ^{2}\left[\left(\Delta x-U\Delta t\right)^{2}+\alpha ^{2}\left(\Delta t-{\frac {U}{c^{2}}}\Delta x\right)^{2}\right]=$ $\Gamma ^{2}\left[\Delta x^{2}+U^{2}\Delta t^{2}+\alpha ^{2}\Delta t^{2}+{\frac {\alpha ^{2}U^{2}}{c^{4}}}\Delta x^{2}-2U\left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x\Delta t\right]=$ $\Gamma ^{2}\left[\left(1+{\frac {\alpha ^{2}U^{2}}{c^{4}}}\right)\Delta x^{2}+\left(1+{\frac {U^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)\alpha \Delta t^{2}-2U\left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x\Delta t\right]=$

$=\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\alpha \Delta t\right)^{2}$.