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MECCANICA OPERAZIONALE

Possiamo verificare numericamente l’invarianza $L'=L$, ponendo per es. che la velocità della locomotiva sia $u=0,8c$.

Dall’espressione $L=ut{\sqrt {2/(\gamma +1)}}$ risulta:

$L^{2}={\frac {2u^{2}t^{2}}{1+1/{\sqrt {1-(u/c)^{2}}}}}=c^{2}t^{2}{\frac {1,28}{1+1/{\sqrt {1-0,64}}}}={\underline {0,48\,c^{2}t^{2}}}$.

Per conferma verifichiamo anche l’espressione $L^{2}=(\Delta x)^{2}-c^{2}(\Delta t)^{2}$:

$L^{2}=u^{2}t^{2}-c^{2}t^{2}(1-1/\gamma )^{2}=c^{2}t^{2}(0,8)^{2}-c^{2}t^{2}(1-0,6)^{2}=$

$={\underline {0,48\,c^{2}t^{2}}}.$

Poniamo che la velocità della locomotiva rispetto ad un altro osservatore $A'$ sia $u'=0,5\,c$, la velocità di $A'$ rispetto ad $A$ risulta:

$U={\frac {u-u'}{1-uu'/c^{2}}}=c\,{\frac {0,8-0,5}{1-0,4}}=0,5\,c$.

Casualmente abbiamo $U=0,5\,c=u'$, ma in generale risulta $U\neq u'$. Dalle trasformazioni di Lorentz in forma esplicita si ottiene:

$(L')^{2}=(\Delta x')^{2}+(ic\Delta t')^{2}=\Gamma ^{2}\left(\Delta x-U\Delta t\right)^{2}-c^{2}\Gamma ^{2}\left(\Delta t-U\Delta x/c^{2}\right)^{2}=$

$=\Gamma ^{2}\left(\Delta x-U\Delta t\right)^{2}-c^{2}\Gamma ^{2}\left(\Delta t-U\Delta x/c^{2}\right)^{2}=$

${\frac {t^{2}}{1-U^{2}/c^{2}}}\left\{\left[u-U\left(1-{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\right)\right]^{2}-c^{2}\left[1-{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}-{\frac {uU}{c^{2}}}}}\right]^{2}\right\}$

Sostituendo $u=0,8\,c$ e $U=0,5\,c$ risulta $(L')^{2}={\underline {0,48\,c^{2}t^{2}}}=L^{2}$. Il lettore può verificare che l’invarianza $L'=L$ vale per qualsiasi coppia di velocità $u$ ed $u'$.