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APPUNTI DI RELATIVITÀ

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RAGGIO-VETTORE OPERAZIONALE

La definizione del raggio-vettore rappresenta una sintesi di proprietà matematiche e fisiche, quindi deve essere compatibile con i criteri di validazione. Dall’espressione della separazione $L={\sqrt {r^{2}+\left(ic\Delta t\right)^{2}}}$ ricaviamo quella del raggio-vettore operazionale:

$\mathbf {R} \left(\Delta x;ict\Delta t\right)\equiv \left[\mathbf {r} ;ic\left(t-\tau \right)\right]\equiv \left[\mathbf {u} \gamma \tau ;ic\tau \left(\gamma -1\right)\right]$

Notiamo che per $u\rightarrow 0$, la componente temporale $ic\left(t-\tau \right)\rightarrow 0$, quindi $\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {r}$ naturalmente, dunque per $u\rightarrow 0$ la Meccanica operazionale si riduce naturalmente a quella classica di Galileo.

Per $u_{\mathrm {O} }=0$ abbiamo l’elemento neutro $\mathbf {R} _{\mathrm {O} }(0;0)$, a conferma che la struttura algebrica della Meccanica operazionale è abeliana, proprietà apprezzabile meglio da specialisti, mentre il lettore profano può paragonarla al risultato migliore di un check-up completo fatto con le apparecchiature diagnostiche più avanzate.

La separazione spazio-temporale operazionale coincide col valore del modulo del raggio-vettore:

$\left|\mathbf {R} \right|\equiv L=c\tau {\sqrt {2\left(\gamma -1\right)}}=ut{\sqrt {2/\left(\gamma +1\right)}}$.

Notiamo che:

- il modulo $\left|\mathbf {R} \right|$ dipende dalla velocità $u$, quindi è direttamente connesso allo stato cinematica dell’oggetto;

- per $u\rightarrow 0\;\;\Rightarrow \;\;\left|\mathbf {R} \right|\rightarrow r=ut$.

La trasformazione di $\mathbf {R} \left(\Delta x;ic\Delta t\right)$ è:

$\mathbf {R'} \left(\Delta x';ic\Delta t'\right)\equiv \Gamma \left\{\left(\Delta x-U\Delta t\right);ic\left(\Delta t-{\frac {U}{c^{2}}}\Delta x\right)\right\}$.