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APPUNTI DI RELATIVITÀ

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QUADRI-MOMENTO OPERAZIONALE

Il quadri-impulso operazionale si ottiene moltiplicando $\mathbf {U} \left[\mathbf {u} \gamma ;\;ic\left(\gamma -1\right)\right]$ per la massa inerziale $m$:

$\mathbf {P} \left[m\mathbf {u} \gamma ;\;{\frac {i}{c}}mc^{2}\left(\gamma -1\right)\right]$.

Similmente si ottiene il modulo:

$\left|\mathbf {P} \right|=mc{\sqrt {2\left(\gamma -1\right)}}=p{\sqrt {2/\left(\gamma +1\right)}}$

I valori limite sono:

- per	$u\rightarrow 0$	$\Rightarrow$	$\left|\mathbf {P} \right|\rightarrow p=mu\gamma$.
- per	$u\rightarrow c$	$\Rightarrow$	$\left|\mathbf {P} \right|\rightarrow mc{\sqrt {2\gamma }}\rightarrow \infty$.

La trasformazione di $\mathbf {P}$ deriva dall’espressione di $\mathbf {U} '$:

$\mathbf {P} '\equiv \Gamma \left\{\left[mu\gamma -{\frac {U}{c^{2}}}mc^{2}\left(\gamma -1\right)\right];\;{\frac {i}{c}}\left[mc^{2}\left(\gamma -1\right)-Umu\gamma \right]\right\}$.

Notiamo che il modulo $\left|\mathbf {P} \right|=mc{\sqrt {2\left(\gamma -1\right)}}$ coincide con quello ricavato per differenza dai quadri-momenti di Minkowski.

L’assenza del coefficiente immaginario prova che l’artificiosa inversione dei segni introdotta da Minkowski non è giustificata. Seguendo lo stesso procedimento applicato verificare la congruenza della teoria di Minkowski, consideriamo la differenza $\mathbf {P} _{\mathrm {d} }=\mathbf {P} _{\mathrm {a} }-\mathbf {P} _{\mathrm {b} }$:

$\mathbf {P} _{\mathrm {d} }\left[\left(\mathbf {p} _{\mathrm {a} }\gamma _{\mathrm {a} }-\mathbf {p} _{\mathrm {b} }\gamma _{\mathrm {b} }\right);\;imc\left(\gamma _{\mathrm {a} }-\gamma _{\mathrm {b} }\right)\right]$.