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MECCANICA OPERAZIONALE

Il modulo risulta:

$\left|\mathbf {P} _{\mathrm {d} }\right|^{2}=\left|\mathbf {P} _{\mathrm {a} }-\mathbf {P} _{\mathrm {b} }\right|^{2}=\left(\mathbf {p} _{\mathrm {a} }\gamma _{\mathrm {a} }-\mathbf {p} _{\mathrm {b} }\gamma _{\mathrm {b} }\right)^{2}-m^{2}c^{2}\left(\gamma _{\mathrm {a} }-\gamma _{\mathrm {b} }\right)^{2}=...$

$...=2m^{2}c^{2}\left[\gamma _{\mathrm {a} }\gamma _{\mathrm {b} }\left(1-u_{\mathrm {a} }u_{\mathrm {b} }/c^{2}\right)-1\right]=2m^{2}c^{2}\left(\gamma _{\mathrm {d} }-1\right)$.

Il vettore $\mathbf {P} _{\mathrm {d} }$ ha le stesse caratteristiche formali di $\mathbf {P} _{\mathrm {a} }$ e $\mathbf {P} _{\mathrm {b} }$, in perfetto accordo con le regole dell’Algebra lineare.

Il grafico successivo permette un efficace confronto fra diverse espressioni dei moduli connessi alla quantità di moto.

- La linea (1) rappresenta l’espressione di Newton $p=mu$, che è una buona approssimazione fino alla velocità $u\equiv 0,1c$.

- La linea (2) corrisponde all’espressione relativistica della quantità di moto di Einstein $p=mu\gamma$, valida per lo spazio tridimensionale.

- La linea (3) rappresenta il modulo del quadri-momento operazionale. Notiamo che i grafici (2) e (3) condividono lo stesso asintoto per $u\rightarrow c$. Si conferma che quella della luce è la velocità-limite per gli oggetti fisici. Per $u\ll c$ il modulo $\left|\mathbf {P} \right|=p{\sqrt {2/(\gamma +1)}}$ e l’espressione di Einstein $(p=mu\gamma )$, si riducono alla quantità di moto classica di Newton $(mu)$. La evidente convergenza naturale delle prime tre espressioni rappresenta un notevole elemento di consistenza.

- La linea (4) orizzontale tratteggiata rappresenta il modulo $\left|\mathbf {P} _{\mathrm {M} }\right|=mc$ del quadri-momento di Minkowski. L’assurdità è evidente, ma per l’Esperto si tratta di “super-invarianza”. Lasciamo al lettore lo spazio sottostante per annotare liberamente i suoi commenti.