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sait autant en nombre l’un des deux extrêmes qu’elle même était surpassée par l’autre: c’est là ce qu’on nomme un moyen proportionnel arithmétique. Ainsi, pour opérer les insertions indiquées, il faut trouver, 1º la raison harmonique, 2º la raison arithmétique.

D’abord, soit $a$ le premier extrême, $b$ le second, et représentons par $\frac{1}{y}$ la raison harmonique cherchée. Le moyen proportionnel harmonique, sera $a+\frac{a}{y}$ il sera aussi $b-\frac{b}{y}$ donc $a+\frac{a}{y}=b-\frac{b}{y}$; donc $\frac{a+b}{y}=b-a$; donc $a+b=(b-a)y$; donc $y=\frac{a+b}{b-a}$; donc enfin $\frac{1}{y}=\frac{b-a}{a+b}$. Maintenant, comme cest entre tous les termes d’une progression géométrique que nous avons des moyens proportionnels armoniques à insérer, soit $z$ la raison de la progression. Nous avons $b=az$: donc $\frac{1}{y}=\frac{az-a}{a+za}=\frac{z-1}{z+1}$. Ainsi, la raison harmonique reste toujours la même, quels que soient les extrêmes, puisqu’elle est exprimée seulement en fonction de la raison de la progression géométrique. Or, pour la premiére progression, $z=2$; donc $\frac{1}{y}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}$. Pour la seconde progression, $z=3$; donc $\frac{1}{y}=\frac{3-1}{3+1}=\frac{1}{2}$.

Pour trouver la raison arithmétique, soit $a$ le premier extrême, $b$ le second, $x$ la différence cherchée. Le moyen proportionnel sera $a+x$: il sera aussi $b-x$; donc $a+x=b-x$; donc $2x=b-a$; donc enfin $x=\frac{b-a}{2}$. Maintenant, comme c’est entre tous les termes d’une progression géométrique que nous avons des moyens proportionnels arithmétiques à insérer, soit z la raison de cette progression: nous avons $b=ax$; donc $x=\frac{az-a}{2}=\frac{a(x-1)}{2}$. Or, prou