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la première progression, la raison $z=2$; donc $x={\tfrac {a}{2}}$. Pour la seconde, $z=3$: donc $x=a$.

Maintenant considérons à part, pour plus de facilité, chacune des deux progressions, et faisons dans chacune d’elles les insertions indiquées. Pour la première, nous avons les deux formules ${\tfrac {1}{y}}={\tfrac {1}{3}}$, et $x={\tfrac {a}{2}}$: le moyen proportionnel harmonique est donc ${\tfrac {4a}{3}}$, et le moyen proportionnel arithmétique ${\tfrac {3a}{2}}$.

I. Résultat de l’insertion des moyens proportionnels harmoniques et arithmétiques dans le première progression géométrique.

1

${\tfrac {4}{3}}$

${\tfrac {2}{3}}$

2

${\tfrac {8}{3}}$

3

4

${\tfrac {16}{3}}$

6

8

Pour la seconde progression, nous avons les deux formules ${\tfrac {1}{y}}={\tfrac {1}{2}}$, et $x=a$. Le moyen proportionnel harmonique est ${\tfrac {3a}{2}}$ et le moyen proportionnel arithmétique est $2a$: