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II. Résultat de l’insertion des moyens proportionnes harmoniques et arithmétiques dans la seconde progression géométrique.

1

$\frac{3}{2}$

2

3

$\frac{9}{2}$

6

9

$\frac{27}{2}$

18

27

L’auteur dit qu’il faut encore, dans tous les intervalles

Is qu’un nombre vaille le précédent multiplié par $1\frac{1}{3}$, insérer des nombres, de manière à former des intervalles dont la raison géométrique soit $1\frac{1}{8}$. Or: dans le résultat n° 1, l’intervalle de chaque premier extrême au moyen proportionnel harmonique a pour raison géométrique $1\frac{1}{3}$; car $\frac{4a}{3}=a(1+\frac{1}{3})$. Du moyen proportionnel harmonique au moyen proportionnel arithmétique, l’intervalle a pour raison $1\frac{1}{8}$; car $\frac{3a}{2}=\frac{4a}{3}\times \frac{9}{8}$. Du moyen proportionnel arithmétique à l’autre extrême, l’intervalle a pour raison $1\frac{1}{3}$; car $b=2a=\frac{3a}{2}\times \frac{4}{3}$. Dans chacun des intervalles dont la raison est $1\frac{1}{3}$, on peut intercaler deux nombres, de manière à former deux nouveaux intervalles ayant pour raison géométrique $1\frac{1}{8}$, et entre le dernier de ces deux nombres et le nombre suivant, le rapport géométrique se trouve être constamment celui de 243 à 256, comme le dit l’auteur. Voici le résultat de cette insertion, divisé en