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trois séries de huit nombres, dont chacune se termine par un nombre de la progression primitive, répété au commencement de la série suivante:

1re Série....	$1$	$\frac{9}{8}$	$\frac{81}{64}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{27}{16}$	$\frac{243}{128}$	$2$
2e Série....	$2$	$\frac{9}{4}$	$\frac{81}{32}$	$\frac{8}{3}$	$3$	$\frac{27}{8}$	$\frac{243}{64}$	$4$
3e Série....	$4$	$\frac{9}{2}$	$\frac{81}{16}$	$\frac{16}{3}$	$6$	$\frac{27}{4}$	$\frac{243}{32}$	$8$

Il est aisé de voir que $243$:$256$::$\frac{81}{64}$:$\frac{4}{3}$:$\frac{243}{128}$:$2$::$\frac{81}{32}$:$\frac{8}{3}$::$\frac{243}{64}$:$4$::$\frac{31}{16}$:$\frac{16}{3}$::$\frac{243}{32}$:$8$, et qu’entre tous les autres nombres consécutifs, le rapport est constamment celui de $1$ à $\frac{9}{8}$

Quant au résultat n° II, tous les nombres y offrent entre eux le rapport de $1$ à $\frac{3}{2}$, ou celui de $1$ à $\frac{9}{8}$; il n’y a donc aucune nouvelle insertion à y faire. Mais il suffit d’un coup d’œil pour s’apercevoir qu’il ne s’y trouve pas un nombre au-dessous de $8$ qui ne fasse double emploi avec un nombre des trois séries ci dessus: il suffit donc d’ajouter à la suite de ces trois séries les quatre nombres au-dessus de $8$, savoir:

$9$

$\frac{27}{2}$

$18$

$27$