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“scientia„

Ma si ha ancora una proprietà caratteristica delle serie infinite che possono porsi in corrispondenza ordinata colla serie dei pensieri e quindi colla serie dei numeri naturali

$1,2,3\ldots n\ldots$

Invero si consideri una serie infinita, bene ordinata, $S$, il cui termine generale, ordinatamente corrispondente al numero $n$ della serie $1,2,3\ldots n\ldots$ si possa designare con $n$.

Osserviamo che essendo data una relazione

$R(x)=0$

tutti i numeri $x$ che la verificano (supposto che ce ne sia qualcuno) formano una classe. Quindi si può enunciare il principio d’induzione come segue:

Se una classe C contiene il primo elemento ($x=1$) della data serie S, e se dall’ipotesi che essa contenga un qualsiasi elemento ($x=n$) di S, si deduce che contiene ancora il suo successivo immediato ($x=n+1$), la classe C contiene tutti gli elementi di S (Peano).

Questo principio appunto distingue la serie dei numeri (o quelle che sono con essa in corrispondenza ordinata) da altre possibili serie bene ordinate come p. es. la seguente:

$\displaystyle {1,1\,{\frac {1}{2}},1\,{\frac {3}{4}},1\,{\frac {7}{8}}\ldots 2\ldots }$

Infatti è chiaro che una serie bene ordinata per cui valga il postulato di Peano, si può porre in corrispondenza biunivoca ordinata colla serie dei numeri naturali

$1,2,3\ldots n\ldots$

Ora la considerazione di serie bene ordinate non soddisfacenti al postulato di Peano, conduce sud estendere il concetto ordinario dei numeri ordinali, considerando numeri ordinali infiniti: tali sono i numeri transfiniti di G. Cantor.

Si abbia una serie bene ordinata, $S$, che non soddisfi al postulato di Peano; allora vi sono in essa degli elementi successivi a quelli che portano un qualsiasi numero d’ordine $n$ per quanto grande; la serie di tali elementi, $S$, (successivi alla serie $1,2,3\ldots$) è una parte di $S$, e perciò possiede un primo elemento $\omega$; il successivo di $\omega$ si può designare con $\omega +1$ e così via.