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164 “scientia„


critique sereine ne peut trouver que déplacés les uns autant que les autres.

Poincaré, par exemple, rejette le résultat de Russel et consacre à son argumentation un nombre considérable de pages d’une vivacité de forme qui est souvent tout à fait délicieuse; mais il ne paraît pas avoir su bien poser la question.

Pour discuter une thèse comme celle de Russel, sans s’exposer au danger de faire des jeux de mots, il est évident qu’il faut d’abord s’entendre sur la définition de logique et sur celle de mathématique. Or, il semble que Poincaré accepte, pour l’une et pour l’autre, les définitions que Russel a données et, au fait, il ne s’en écarte pas pendant la plus grande partie de sa discussion; mais, que les termes vrais de la question ne soient pas toujours présents à son esprit, cela est démontré entre autre par le reproche de peu d’évidence qu’il adresse à l’un des postulats auxquels Burali-Forti a recours pour démontrer le principe d’induction.

Avant d’accorder que les mathématiques sont un chapitre de la logique, Poincaré exige qu’on lui démontre la compatibilité des propositions primitives de l’arithmétique, sans avoir recours à l’intuition, mais en se servant seulement des lois fondamentales de la la logique pure. Et sur ce point, il ne paraît pas qu’on puisse lui donner tort, car la chaleur seule de la polémique peut avoir entraîné quelqu’un à revendiquer aux définitions le droit d’être éventuellement contradictoires; j’ajouterai même que ce sont justement les logiciens mathématiciens que Poincaré croit combattre qui conviennent pour la plupart avec lui.

Si par domaine de la logique pure nous entendons celui qu’on nommerait mieux de la logique formelle (laquelle fait abstraction de tout postulat existentiel), alors une simple considération a priori nous montre que l’arithmétique (et par conséquent les mathématiques) ne peut pas se réduire à la logique, ce qui a toujours été soutenu par Peano, par Pieri et par beaucoup d’autres savants en logistique; mais si dans le domaine de la logique nous admettons quelques postulats de nature existentielle (et Peano a démontré qu’il suffit d’un seul, savoir celui qui affirme l’existence d’une classe infinie, au moins) alors l’arithmétique, la géométrie et les mathématiques tout entières peuvent être fondées sans avoir recours à l’intuition numérique, spatiale ou physique.

Or, Poincaré ne fait jamais cette distinction, en terme nets du moins, ce qui nuit à la clarté de son argumentation laquelle n’atteint point, ni ne peut atteindre, à un résultat définitif.

Pour éviter des équivoques, il convient de remarquer explicitement que, pour la logistique, l’arithmétique et la géométrie doivent être entendues dans un sens abstrait ou nominaliste, si