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ulisse dini

Poniamo infatti

$\varrho _{n}={\frac {1}{\psi (n+1)}}+{\frac {1}{\psi (n+2)}}+\cdots ,$

e prendiamo

$k_{n}=\varrho _{n};$

si avrà

$h_{n}={\frac {\varrho _{n}-\varrho _{n+1}}{u_{n+1}}}={\frac {1}{\psi (n+1)u_{n+1}}},$

e quindi, se $\lim \psi (n)u_{n}$ non è infinito, la serie $\sum u_{n}$ sarà evidentemente convergente.

Nel caso di $\lim \psi (n)u_{n}=\infty$, osservando che

$m_{n}=\varrho _{n}\psi (n+1)u_{n+1},$

si potrà soltanto affermare che la serie $\sum u_{n}$ è divergente tutte le volte che

$\lim \left\{{\frac {1}{\psi (n+1)}}+{\frac {1}{\psi (n+2)}}+\cdots \right\}\psi (n+1)u_{n+1}$

non è zero.

Osservazione — Pel teorema precedente e per quello del numero 9, si ha in particolare che: Una serie $\sum u_{n}$ sarà convergente se una delle espressioni

$n^{1+\mu }u_{n},n(\mathrm {Log} ~n)^{1+\mu }u_{n},\ldots ,n\mathrm {Log} ~n\ldots \mathrm {Log} ^{p-1}n(\mathrm {Log} ^{p}n)^{1+\mu }u_{n},$

ove $\mu$ è un numero qualunque positivo, non cresce indefinitamente col crescere indefinitamente di $n$; e questa conclusione unita quella della fine del numero 10 dà un mezzo noto per giudicare della convergenza o divergenza di una serie $\sum u_{n}$.

12. Andiamo adesso a vedere come, servendosi di alcuni dei teoremi precedenti, si può subito trovare un criterio di convergenza o divergenza di una serie a termini positivi $\sum u_{n}$ che comprende come casi particolari quelli dati già dal sig. Bertrand. Questo criterio è il seguente:

Se $\varphi (n)$ è una funzione positiva di $n$ tale che la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ sia divergente, e se s’indica al solito con $\sigma _{n}$ la somma dei primi $n$