Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/15

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sulle serie a termini positivi 43
ovvero


da cui


o anche


e quindi, poichè la serie è convergente, anche sarà convergente.

Per dimostrare il teorema per una qualunque, osserveremo che se è positivo e non tende a zero indicando con una quantità positiva sufficientemente piccola a partire da un certo valore di sino all’infinito, si avrà


ovvero


e quindi


da cui


che mostra appunto che è convergente, poichè la serie (3) è convergente per , qualunque sia .

Il teorema è così completamente dimostrato.

Notiamo che la parte di questo teorema relativa alla divergenza di avrebbe potuto dimostrarsi anche in modo analogo a quello che ci ha servito pel caso della convergenza.


13. Prendendo nel teorema del numero precedente , si ottengono i teoremi di Bertrand; cioè si ha che: Ponendo