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sulle serie a termini positivi

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ovvero

$\mathrm {Log} \left\{{\frac {1}{\varphi (n)u_{n}}}\right\}>\mathrm {Log} ~\sigma _{n}^{1+\mu };$

da cui

${\frac {1}{\varphi (n)u_{n}}}>\sigma _{n}^{1+\mu };$

o anche

$u_{n}<{\frac {1}{\varphi (n)\sigma _{n}^{1+\mu }}};$

e quindi, poichè la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\sigma _{n}^{1+\mu }}}$ è convergente, anche $\sum u_{n}$ sarà convergente.

Per dimostrare il teorema per una $\lambda$ qualunque, osserveremo che se $\lambda _{p}$ è positivo e non tende a zero indicando con $\mu$ una quantità positiva sufficientemente piccola a partire da un certo valore di $n$ sino all’infinito, si avrà

$\mathrm {Log} \left\{{\frac {1}{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}}}\right\}>\mu \mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n},$

ovvero

$\mathrm {Log} \left\{{\frac {1}{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}}}\right\}>\mathrm {Log} \{\mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}\}^{\mu },$

e quindi

${\frac {1}{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}}}>(\mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n})^{\mu };$

da cui

$u_{n}<{\frac {1}{\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-2}\sigma _{n}(\mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n})^{1+\mu }}},$

che mostra appunto che $\sum u_{n}$ è convergente, poichè la serie (3) è convergente per $\mu >0$, qualunque sia $p$.

Il teorema è così completamente dimostrato.

Notiamo che la parte di questo teorema relativa alla divergenza di $\sum u_{n}$ avrebbe potuto dimostrarsi anche in modo analogo a quello che ci ha servito pel caso della convergenza.

13. Prendendo nel teorema del numero precedente $\varphi (n)=1$, si ottengono i teoremi di Bertrand; cioè si ha che: Ponendo