Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/17

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sulle serie a termini positivi 45


E quì giova osservare che, siccome le quantità crescono indefinitamente con (V. nota precedente), così dalla (4) si vede che quando si sarà trovata una quantità che abbia un limite maggior di zero, tutte quelle che la seguono avranno per limite l’infinito positivo, e quando se ne sarà trovata una che è sempre negativa fuori del limite, quella che la segue immediatamente avrà un limite che sarà al certo negativo e che potrà essere finito o infinito; e tutte le seguenti avranno per limite l'infinito negativo.


15. Per dare una applicazione del teorema del numero 12 cerchiamo che cosa accada della serie

(5)
quando è positivo ma tende a zero.

Si ha per questa serie evidentemente


dunque questa serie sarà convergente o divergente secondo che


Questo risultato rende evidentemente più completi i teoremi dei numeri 8, 9.

Se si suppone con positiva, allora evidentemente si ha


e quindi la serie (5) in questo caso è divergente.