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ulisse dini

In particolare si ha dunque che le serie

$\sum {\frac {1}{n^{1+{\frac {a}{n}}+\cdots }}},\quad \sum {\frac {1}{n(\mathrm {Log} ~n)^{1+{\frac {a}{n}}+\cdots }}},\quad \sum {\frac {1}{n\mathrm {Log} ~n(\mathrm {Log} ^{2}n)^{1+{\frac {a}{n}}+\cdots }}},\ldots$

$\ldots ,\sum {\frac {1}{n\mathrm {Log} ~n\mathrm {Log} ^{2}n\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}n(\mathrm {Log} ^{p}n)^{1+{\frac {a}{n}}+\cdots }}},$

ove $a$ è positiva, sono tutte divergenti.

Analogamente si potrebbe vedere che le serie (5) corrispondenti a

$\mu ={\frac {a}{(\mathrm {Log} ^{p+1}\sigma _{n})^{\nu }}}+{\frac {b}{(\mathrm {Log} ^{p+1}\sigma _{n})^{\nu +\nu '}}}+\cdots ,$

ove $a$, $\nu$ e $\nu '$ sono positive, sono convergenti se $\nu <1$, divergenti se $\nu \geq 1$.

16. Ritorniamo adesso al criterio del numero 1; questo criterio, come dicemmo, potrà sempre servire poichè, data una serie $\sum u_{n}$, esistono sempre infinite funzioni $k_{n}$ tali che l’applicazione del criterio riesce decisivo. Però queste funzioni dipenderanno dalla natura di $\sum u_{n}$, ed anzi in generale possiamo ora mostrare che non esiste una funzione ${\rm {k_{n}}}$ tale che con essa il criterio riesca decisivo per qualunque serie $\sum {\rm {u_{n}}}$, tale cioè che con essa si trovi sempre

$\lim h_{n}>0$

se la serie è convergente, e

$\lim m_{n}>0$

se la serie è divergente.

Sia infatti, se è possibile, $k_{n}$ una tale funzione; la serie $\sum \left({\frac {k_{n-1}-k_{n}}{k_{n-1}}}\right)$ sarà divergente (num. 4), e quindi indicando con $S_{n}$ la somma dei suoi $n$ primi termini, anche la serie $\sum \left({\frac {k_{n-1}-k_{n}}{k_{n-1}S_{n}}}\right)$ sarà divergente (num. 6), e quindi per essa dovrebbe aversi $\lim m_{n}>0$. Ora invece per essa si trova

$m_{n}={\frac {1}{S_{n+1}}},\quad \lim m_{n}=0;$

e quindi se ne conclude che la funzione voluta non può esistere.