|
sulle serie a termini positivi |
47 |
17. Il criterio del num. 1 è generale; però la sua applicazione potrebbe riuscire laboriosa quando i termini di 
fossero dei prodotti nei quali il numero dei fattori va continuamente aumentando. È utile per ciò di trasformarlo in un altro che sia di più facile applicazione in questo caso.
Per questo si prenda intanto 
, essendo 
una funzione tale che 
. Allora si avrà
e il teorema del numero 1, diverrà appunto il teorema di Kummer, cioè si avrà che:
Essendo 
una funzione di 
tale che 
, la serie 
sarà convergente se
e sarà divergente se
18. Arrestiamoci più specialmente sulla prima parte di questo teorema: e senza occuparci ora della condizione supponiamo che sia una tale funzione che la serie 
sia divergente; in questo caso, se per una serie si troverà che l’espressione
ha un limite negativo o è sempre negativa fuori del limite, ciò vorrà
dire che sarà divergente, giacchè in ambedue i casi a partire da un certo valore di 
sino all’infinito si avrà
