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ulisse dini

e quindi

${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}>{\frac {\dfrac {1}{\varphi (n+1)}}{\dfrac {1}{\varphi (n)}}},$

ciò che mostra appunto che $\sum u_{n}$ è divergente.

Da questo e dal teorema precedente risulta dunque intanto che: Essendo $\varphi ({\rm {n)}}$ una funzione positiva di ${\rm {n}}$ tale che la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ sia divergente, la serie $\sum {\rm {u_{n}}}$ sarà divergente se l’espressione

$h_{n}=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)$

avrà un limite negativo, e anche se tendendo a zero sarà sempre negativa fuori del limite; e sarà convergente se oltre ad aversi $\lim \varphi ({\rm {n){\rm {{u_{n}}=0}}}}$, si avrà altresì

$\lim h_{n}>0.$

Il dubbio si presenterà quando $h_{n}$ tenderà a zero mantenendosi sempre positiva fuori del limite, e quando il segno di $\lim h_{n}$ sarà indeterminato. Quest’ultimo caso sarà assai raro e si presenterà soltanto quando $\varphi (n)u_{n}$ avvicinandosi al suo limite sarà or crescente or decrescente col crescere di $n$ per valori interi: qui però questo caso si intenderà sempre escluso dalle nostre considerazioni.

19. Dico ora che la condizione $\lim \varphi (n)u_{n}=0$, necessaria d’altronde per la convergenza di $\sum u_{n}$ (num. 10), non lo è punto per l’enunciato del teorema precedente: in altri termini se $\varphi (n)u_{n}$ ha un limite differente da zero (nel qual caso già sappiamo che $\sum u_{n}$ è divergente (num. 10)) dico che non si potrà mai avere $\lim h_{n}>0$; e quindi il caso di $\lim h_{n}>0$ resterà da sè soltanto quando $\lim \varphi (n)u_{n}=0$, cioè quando $\sum u_{n}$ è convergente.

Supponiamo infatti che si abbia

$\lim \varphi (n)u_{n}=\alpha ,$

essendo $\alpha$ una quantità diversa da zero; e consideriamo separatamente i casi di $\alpha$ finito, e di $\alpha$ infinito.