Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/20

Da Wikisource.
Jump to navigation Jump to search
48 ulisse dini
e quindi


ciò che mostra appunto che è divergente.

Da questo e dal teorema precedente risulta dunque intanto che: Essendo una funzione positiva di tale che la serie sia divergente, la serie sarà divergente se l’espressione


avrà un limite negativo, e anche se tendendo a zero sarà sempre negativa fuori del limite; e sarà convergente se oltre ad aversi , si avrà altresì


Il dubbio si presenterà quando tenderà a zero mantenendosi sempre positiva fuori del limite, e quando il segno di sarà indeterminato. Quest'ultimo caso sarà assai raro e si presenterà soltanto quando avvicinandosi al suo limite sarà or crescente or decrescente col crescere di per valori interi: qui però questo caso si intenderà sempre escluso dalle nostre considerazioni.


19. Dico ora che la condizione , necessaria d’altronde per la convergenza di (num. 10), non lo è punto per l’enunciato del teorema precedente: in altri termini se ha un limite differente da zero (nel qual caso già sappiamo che è divergente (num. 10)) dico che non si potrà mai avere ; e quindi il caso di resterà da sè soltanto quando , cioè quando è convergente.

Supponiamo infatti che si abbia


essendo una quantità diversa da zero; e consideriamo separatamente i casi di finito, e di infinito.