Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/21

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sulle serie a termini positivi 49


Consideriamo il primo caso. La serie essendo divergente, tale sarà pure (num. 6) la serie


e per questa si avrà


dunque, pel teorema di Kummer, l’espressione


non potrà avere un limite positivo.

Ma d’altronde si ha


ovvero


dunque, poichè è positivo ed ha per limite zero, , avrà lo stesso limite di , e quindi non potrà essere positivo1.

Supponiamo ora . In questo caso se si avesse

  1. Questo del resto risulta subito anche da ciò che abbiam detto nel numero 1.
    Infatti se ha un limite finito , indicando con una quantità che ha per limite zero si avrà


    e quindi


    e poichè tende a zero, qualunque sia il suo segno e la sua espressione, si vede subito di qui che non può avere un limite positivo, perchè altrimenti sarebbe convergente (numero 1).