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sulle serie a termini positivi

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Consideriamo il primo caso. La serie $\sum u_{n}$ essendo divergente, tale sarà pure (num. 6) la serie

$\sum v_{n}=\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}}},$

e per questa si avrà

$\lim \varphi (n)v_{n}=\lim {\frac {\varphi (n)u_{n}}{S_{n}}}={\frac {\alpha }{\lim S_{n}}}=0;$

dunque, pel teorema di Kummer, l’espressione

$h_{n}'=\varphi (n){\frac {v_{n}}{v_{n+1}}}-\varphi (n+1),$

non potrà avere un limite positivo.

Ma d’altronde si ha

$h_{n}'=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}{\frac {S_{n+1}}{S_{n}}}-\varphi (n+1)$

ovvero

$h_{n}'=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}+{\frac {\varphi (n)u_{n}}{S_{n}}}-\varphi (n+1)=h_{n}+{\frac {\varphi (n)u_{n}}{S_{n}}};$

dunque, poichè ${\frac {\varphi (n)u_{n}}{S_{n}}}$ è positivo ed ha per limite zero, $h_{n}$ avrà lo stesso limite di $h'_{n}$, e quindi $\lim h_{n}$ non potrà essere positivo¹.

Supponiamo ora $\alpha =\infty$. In questo caso se si avesse

$\lim h_{n}>0,$

1. Questo del resto risulta subito anche da ciò che abbiam detto nel numero 1.
   Infatti se $\varphi (n)u_{n}$ ha un limite finito $\alpha$, indicando con $\delta _{n}$ una quantità che ha per limite zero si avrà

   $\varphi (n)u_{n}=\alpha +\delta _{n},$

   
   e quindi

   $h_{n}={\frac {\delta _{n}-\delta _{n+1}}{u_{n+1}}},$

   
   e poichè $\delta _{n}$ tende a zero, qualunque sia il suo segno e la sua espressione, si vede subito di qui che $h_{n}$ non può avere un limite positivo, perchè altrimenti $\sum u_{n}$ sarebbe convergente (numero 1).