Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/22

50

ulisse dini

necessariamente, a partire da un certo valore di $n$, si avrebbe

$\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}>\varphi (n+1),$

ovvero

$\varphi (n)u_{n}>\varphi (n+1)u_{n+1},$

e quindi $\varphi (n)u_{n}$ n sarebbe decrescente, e non potrebbe divenire infinita.

Dunque anche in questo caso $h_{n}$ non potrà avere un limite positivo, e quindi si può ora concludere che quando si abbia $\lim h_{n}>0$, la condizione $\lim \varphi (n)u_{n}=0$ viene soddisfatta da per sè, e si ha perciò il teorema generale seguente:

Essendo $\varphi ({\rm {n)}}$ una funzione positiva di ${\rm {n}}$ e tale che la serie $\sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}$ sia divergente, la serie $\sum {\rm {u_{n}}}$ sarà convergente o divergente secondo che la espressione

$h_{n}=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)$

avrà un limite positivo o negativo; e sarà pure divergente quando ${\rm {h_{n}}}$, tendendo a zero, sarà sempre negativa fuori del limite.

Quando ${\rm {h_{n}}}$ sia identicamente nullo, la serie $\sum {\rm {u_{n}}}$ sarà evidentemente divergente, giacchè sarà

$\varphi (n)u_{n}=\varphi (n+1)u_{n+1}=\beta ,$

ove $\beta$ non varia col crescere di $n$ per valori interi; e quindi si avrà

$u_{n}={\frac {\beta }{\varphi (n)}},\qquad$ e $\qquad \sum u_{n}=\beta \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}.$

Il criterio precedente adunque lascerà il dubbio soltanto nel caso in cui $h_{n}$ tenderà a zero essendo sempre positivo fuori del limite.

Osservazione. — È da notarsi che dalla dimostrazione del teorema precedente risulta che, quando la serie $\sum u_{n}$ sia divergente, $h_{n}$ tenderà sempre a zero finchè $\varphi (n)$ è tale che $\lim \varphi (n)u_{n}$ non è infinito.

20. Pel teorema generale precedente ogni serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ di cui sia nota la divergenza conduce subito ad un criterio di convergenza o divergenza di un altra serie qualunque $\sum u_{n}$.