Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/26

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54 ulisse dini
ove a possono darsi i valori , la serie sarà convergente o divergente secondo che la prima delle espressioni


che non è eguale all’unità, sarà maggiore o minore dell’umità. (G. Novi, Algebra superiore, (Firenze 1863), num. 235).

Se i logaritmi invece di essere neperiani fossero stati a base qualunque, purchè maggiore dell’unità, saremmo giunti a questi stessi risultati finali.

Questo criterio non è in fondo che una leggera trasformazione del precedente e serve ordinatamente negli stessi casi; però talvolta può essere più comodo di averlo sotto questa forma piuttosto che sotto l’altra.


22. Mediante i teoremi dati in principio ci è facile ora di dimostrare che per ogni serie esistono sempre infinite serie divergenti tali che, servendosi della funzione che ci è somministrata da esse, il criterio del num. 19 riesce decisivo.

Supponiamo infatti dapprima che la serie sia convergente; allora la serie sarà divergente (num. 4), e, prendendo questa per la , si avrà


e il criterio sarà così decisivo.

Se poi è divergente, la serie sarà pure divergente (num. 5); e, prendendo questa per la , il criterio verrà pure