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ulisse dini

ove a ${\rm {p}}$ possono darsi i valori $1,2,3,\ldots$, la serie $\sum {\rm {u_{n}}}$ sarà convergente o divergente secondo che la prima delle espressioni

$\lim {\frac {u_{n}}{u_{n+1}}},$

$\lim n\alpha _{0},$

$\lim {\frac {\log n}{\log(n+1)-\log n}}\alpha _{1},$

$\lim {\frac {\log ^{2}n}{\log ^{2}(n+1)-\log ^{2}n}}\alpha _{2}$

$.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;$

che non è eguale all’unità, sarà maggiore o minore dell’unità. (G. Novi, Algebra superiore, (Firenze 1863), num. 235).

Se i logaritmi invece di essere neperiani fossero stati a base qualunque, purchè maggiore dell’unità, saremmo giunti a questi stessi risultati finali.

Questo criterio non è in fondo che una leggera trasformazione del precedente e serve ordinatamente negli stessi casi; però talvolta può essere più comodo di averlo sotto questa forma piuttosto che sotto l’altra.

22. Mediante i teoremi dati in principio ci è facile ora di dimostrare che per ogni serie $\sum u_{n}$ esistono sempre infinite serie divergenti $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ tali che, servendosi della funzione $\varphi (n)$ che ci è somministrata da esse, il criterio del num. 19 riesce decisivo.

Supponiamo infatti dapprima che la serie $\sum u_{n}$ sia convergente; allora la serie $\sum {\frac {u_{n}}{R_{n}}}$ sarà divergente (num. 4), e, prendendo questa per la $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$, si avrà

$h_{n}={\frac {R_{n}}{u_{n+1}}}-{\frac {R_{n+1}}{u_{n+1}}}=1,$

e il criterio sarà così decisivo.

Se poi $\sum u_{n}$ è divergente, la serie $\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}}}$ sarà pure divergente (num. 5); e, prendendo questa per la $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$, il criterio verrà pure