Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/28

Da Wikisource.
Jump to navigation Jump to search
56 ulisse dini
poichè la serie è divergente: per questa dalla (7) si avrà


e quindi, se ha, come si è supposto un limite finito, la serie , con decrescente indefinitamente, renderà dubbio il criterio poichè si avrà .

2º Caso: differente da zero e finito. In questo caso, applicando il criterio del num. 19 alla serie e servendosi per questo della , si vede che si dovrà avere (num. 19)


giacchè la serie è divergente e ha un limite finito.

Dunque, poichè è sempre finito, si avrà anche


e perciò dalla (7) risulterà ancora


e quindi avrà un limite finito e diverso da zero come , e la serie servirà appunto come la .

3º Caso: crescente indefinitamente con .

In questo caso dalla (7) si vede subito che, se ha un limite differente da zero e negativo, avrà per limite l’infinito negativo; e se ha un limite differente da zero e positivo, avrà per limite l’infinito positivo, giacchè siccome la serie è divergente, si avrà per essa