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sulle serie a termini positivi

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e quindi, a partire da un certo valore di $n$, sarà

$\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}<a\theta (n),$

essendo $a$ una quantità finita piccola quanto si vuole, e per questa la (7) ci darà

$h_{n}'>(h_{n}-a)\theta (n),$

dalla quale evidentemente si deduce che $\lim h_{n}'=\infty$.

La serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ serve dunque benissimo anche in questo caso; e con questo e con quanto si è detto nel caso precedente resta evidentemente dimostrato che per ogni serie $\sum u_{n}$ esistono sempre infinite serie divergenti $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ tali che con esse l’applicazione del criterio del num. 19 riesce decisivo.

Inoltre, dalla discussione che abbiamo fatta risulta che:

1º. Trovata una serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ che renda decisiva l'applicazione del criterio del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di una serie data $\sum u_{n}$, se invece della serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ si userà la serie pure divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$, ove $\theta (n)$ è sempre finita e diversa da zero o cresce indefinitamente con $n$, il criterio resterà pure decisivo; e se la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ era tale che $h_{n}$ avesse un limite finito e diverso da zero, la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$ condurrà ad un $h_{n}$ che avrà un limite ancora finito e diverso da zero se $\theta (n)$ è finita, e che avrà un limite infinito (positivo o negativo) se $\theta (n)$ crescerà indefinitamente con $n$.

2º. Affinchè una serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ renda decisiva l’applicazione del criterio del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di una serie $\sum u_{n}$, bisognerà che, col crescere di $n$, $\varphi (n)$ divenga infinita almeno dell’ordine di ${\frac {R_{n}}{u_{n}}}$ se $\sum u_{n}$ è convergente; e divenga infinita almeno dell'ordine di ${\frac {S_{n}}{u_{n}}}$ se $\sum u_{n}$ è divergente.

3º. Se con una serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ si troverà che $h_{n}$ ha un limite finito e positivo, ciò vorrà dire che la serie $\sum u_{n}$ è convergente e, col crescere di $n$, il suo resto diviene infinitesimo dell'ordine di $\varphi (n)u_{n}$; e se si troverà che $h_{n}$ ha un limite finito e