Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/31

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sulle serie a termini positivi 59


Se si pone infatti


si avrà per la serie


ovvero


e di qui si vede che è difatti positiva, e se si ha evidentemente . Se poi , per es. , si ha ancora

e


giacchè cresce indefinitamente con , e non tende a zero.

Da ciò risulta quanto avevamo enunciato1.


24. Per il teorema ora dimostrato, si può dunque affermare che, scelta una serie divergente l'applicazione del criterio del num. 19 ci farà decidere della convergenza e divergenza di alcune serie; ma per altre si troverà

  1. Il teorema dimostrato è analogo a quello che fu dato da Abel che ci dice che: non esiste una funzione tale che la serie sia necessariamente convergente se , e divergente se è diverso da zero. Questo, come è noto, si dimostra osservando che, ammesso che questa funzione esistesse, siccome per la serie si ha , così dovrebbe esser tale che questa serie fosse divergente. Ma allora la serie sarebbe pure divergente e non ostante per questa si avrebbe


    ciò che è contro l'ipotesi.