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sulle serie a termini positivi

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è convergente o divergente secondochè a partire da un certo punto le quantità $\alpha$ sono positive o negative.

Osserviamo infatti che per essa si avrà

$h_{n}=\varphi (n){\frac {v_{n}}{v_{n+1}}}-\varphi (n+1)={\frac {\varphi (n)u_{n}}{u_{n+1}(1-\alpha _{n+1}u_{n+1})}}-\varphi (n+1),$

ovvero

$h_{n}=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)+\alpha _{n+1}{\frac {\varphi (n)u_{n}}{1-\alpha _{n+1}u_{n+1}}}.$

E poichè la serie $\sum u_{n}$ è divergente, si potrà prendere

$\varphi (n)={\frac {u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}}{u_{n}}}={\frac {S_{n}}{u_{n}}};$

e allora si avrà

$\lim \varphi (n)u_{n}=\infty ,\qquad \varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)=-1;$

e quindi, nelle ipotesi fatte, sarà

$\lim h_{n}=\pm \infty$

secondochè le $\alpha _{n}$ sono positive o negative; e questo evidentemente dimostra il teorema.

Prendendo

$u_{n}={\frac {1}{n}},\quad ={\frac {1}{n\log n}},\quad ={\frac {1}{n\log n\log ^{2}n}},\ldots ,\alpha _{n}=k=\mathrm {cost.} ;$

si può dunque subito dire: che le serie

${\begin{aligned}&\sum {\frac {1}{n}}\left(1-{\frac {k}{1}}\right)\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k}{n}}\right),\\\\&\sum {\frac {1}{n\log n}}\left(1-{\frac {k}{2\log 2}}\right)\left(1-{\frac {k}{3\log 3}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k}{n\log n}}\right),\\\\&\sum {\frac {1}{n\log n\log ^{2}n}}\left(1-{\frac {k}{2\log 2\log ^{2}2}}\right)\left(1-{\frac {k}{3\log 3\log ^{2}3}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k}{n\log n\log ^{2}n}}\right),\\&.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;\end{aligned}}$

sono convergenti se ${\rm {k}}$ è positiva, e divergenti se ${\rm {k}}$ è negativa o nulla (Catalan, Traité sur les séries, Paris 1860, pag. 25).

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