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sulle serie a termini positivi

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Ma questa diseguaglianza (come dicemmo anche nel numero 1) equivale all’altra

${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}>a,$

ovvero

${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}>0,$

poichè $a$ è arbitrariamente piccola; quindi se ne conclude che la serie $\sum u_{n}$ sarà convergente se l’espressione

${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}$

avrà un limite differente da zero; e questa è appunto la prima parte del teorema del numero 1.

2. Passerò adesso a dare qui il seguente teorema:

Se $\sum {\rm {u_{n}}}$ è una serie a termini positivi e decrescenti; se $\psi ({\rm {n)}}$ è una funzione positiva di ${\rm {n}}$ che ha valori interi per i valori interi di ${\rm {n}}$, che cresce indefinitamente con ${\rm {n}}$ ed è tale che il rapporto ${\frac {\psi ({\rm {n+1)}}}{\psi ({\rm {n)}}}}$ abbia un limite maggiore dell’unità e finito; se $\varphi ({\rm {n)}}$ è un’altra funzione positiva di ${\rm {n}}$ che col crescere di ${\rm {n}}$ cresce anch’essa indefinitamente ma in modo che il rapporto ${\frac {\varphi ({\rm {n)}}}{\psi ({\rm {n)}}}}$ tenda verso una quantità finita differente da zero¹; le due serie

$U=\sum u_{n},\quad U'=\sum \varphi (n)u_{\psi (n)}$

saranno convergenti o divergenti insieme.

Questo teorema comprende come caso particolare un teorema dato già dal Cauchy, e può dimostrarsi nel modo seguente.

Osserviamo che, nelle ipotesi che abbiamo fatte, esisterà sempre un valore finito e differente da zero $a$ tale che si abbia, qualunque sia $n$,

(1)

$\varphi (n)u_{\psi (n)}>a\{u_{\psi (n)+1}+u_{\psi (n)+2}+\cdots +u_{\psi (n+1)}\};$

1. Vale a dire le due funzioni $\varphi (n)$ e $\psi (n)$ col crescere indefinitamente di $n$ devono divenire infinite dello stesso ordine.