Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/4

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32 ulisse dini
ove


giacchè si troverà allora


Di qui risulta intanto che per ogni serie esiste una funzione per la quale il criterio riesce decisivo. È facile ora di vedere che di tali funzioni ne esiste sempre un numero infinito.

Infatti se è una tale funzione, indicando con un’altra funzione tale che , e prendendo in luogo della , si troverà


e se è convergente e si ha , basterà prendere decrescente ma che non tenda a zero perchè si abbia ancora ; e se è divergente, e si ha , basterà prendere crescente perchè si abbia ancora .

Queste proprietà erano state notate anche dal sig. Kummer. Egli soltanto, invece di introdurre la funzione che tenda a zero, introduceva una funzione tale che , e quindi i suoi teoremi risultano da questi, facendovi


Per ora, giova più lasciarli sotto la forma che loro abbiamo dato.


3. Andiamo adesso si vedere come il teorema del numero 1 conduca subito ad altri sulle serie.

Incominciamo intanto dal mostrare con esso il teorema noto che: la serie i cui termini sono alternativamente positivi