Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/40

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68 ulisse dini
giacchè, se poniamo in questa in luogo delle del secondo membro la quantità maggiore , si vede che onde sia soddisfatta questa diseguaglianza basta che lo sia l’altra


e quindi basta prendere


ovvero


e se non ha per limite zero, e non ha per limite l’infinito si potrà evidentemente sempre prendere per un valore finito e differente da zero tale che quest’ultima diseguaglianza e quindi anche la (1) resti soddisfatta qualunque sia .

Ciò posto, si cangi nella (1) in e si sommi; si otterrà


e se ne concluderà che se la serie è convergente lo sarà pure la serie , e se la è divergente lo sarà pure la .

Così una parte del teorema è già dimostrata. Per dimostrare ora l’altra parte, osserviamo che esisterà sempre un valore finito e differente da zero tale che si abbia

(2)
poichè basterà per questo che si abbia


e quindi basterà prendere