giacchè, se poniamo in questa in luogo delle
del secondo membro la quantità maggiore
, si vede che onde sia soddisfatta questa diseguaglianza basta che lo sia l’altra
e quindi basta prendere
ovvero
e se non ha per limite zero, e non ha per limite l’infinito si potrà evidentemente sempre prendere per un valore finito e differente da zero tale che quest’ultima diseguaglianza e quindi anche la (1) resti soddisfatta qualunque sia .
Ciò posto, si cangi nella (1) in e si sommi; si otterrà
e se ne concluderà che se la serie è convergente lo sarà pure la serie , e se la è divergente lo sarà pure la .
Così una parte del teorema è già dimostrata. Per dimostrare ora l’altra parte, osserviamo che esisterà sempre un valore finito e differente da zero tale che si abbia
(2)
poichè basterà per questo che si abbia
e quindi basterà prendere