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sulle serie a termini positivi

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e se ${\frac {\varphi (n)}{\psi (n)}}$ non tende verso l’infinito, e ${\frac {\psi (n+1)}{\psi (n)}}$ non tende verso l’unità si potrà sempre prendere per $b$ un valore finito e differente da zero che soddisfi a quest’ultima condizione e quindi anche alla (2).

Ora dalla (2), cangiandovi $n$ in $1,2,3,\ldots ,n$ e sommando, si ottiene

$U'_{n}<bU_{n},$

e se ne conclude che se la serie $U$ è convergente lo è pure la $U'$, e se la serie $U'$ è divergente lo è pure la $U$. Il teorema dunque è dimostrato.

Dal teorema precedente si deduce in particolare il seguente: Se $\sum {\rm {u_{n}}}$ è una serie a termini positivi e decrescenti, e se $\varphi ({\rm {n)}}$ è una funzione positiva di ${\rm {n}}$ che ha valori interi pei valori interi di ${\rm {n}}$, che cresce indefinitamente con ${\rm {n}}$, ed è tale che il rapporto ${\frac {\varphi ({\rm {{n+1})}}}{\varphi ({\rm {n)}}}}$ abbia un limite finito o maggiore dell’unità, le due serie

$\sum u_{n},\quad$ e $\quad \sum \varphi (n)u_{\varphi (n)}$

saranno convergenti o divergenti insieme.

Prendendo in particolare $\varphi (n)=v^{n}$, ove $v$ è un numero intero positivo maggiore dell’unità, si ha il teorema di Cauchy, vale a dire si ha che: Se $\sum {\rm {u_{n}}}$ è una serie che ha i suoi termini positivi e decrescenti le due serie

${\begin{aligned}&u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}+\cdots ,\\\\&u_{0}+vu_{v}+v^{2}u_{v^{2}}+\cdots +v^{n}u_{v^{n}}+\cdots ,\end{aligned}}$

ove $v$ è un numero intero positivo maggiore dell’unità, sono convergenti o divergenti insieme.

È con questo teorema che si fa vedere ordinariamente la convergenza o divergenza delle serie logaritmiche

$\sum {\frac {1}{n\log n\log ^{2}n\cdots \log ^{r-1}n(\log ^{r}n)^{\mu }}},$

che noi studiammo in altro modo al num. 9.