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sulle serie a termini positivi

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e negativi, e sono continuamente e indefinitamente decrescenti è sempre convergente.

Osserviamo perciò che questa serie può scriversi $\sum (u_{2n}-u_{2n+1})$, e così ha i termini positivi. Se ora si prende $k_{n}=u_{2n}$, si trova subito

$h_{n}={\frac {u_{2n}-u_{2n+2}}{u_{2n}-2_{2n+1}}}=1+{\frac {u_{2n+1}-u_{2n+2}}{u_{2n}-u_{2n+1}}}>1$

e quindi la serie è convergente.

4. Dimostriamo adesso il teorema seguente:

Se $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots$ sono quantità positive che decrescono continuamente e indefinitamente la serie

$\sum {\frac {u_{n}-u_{n+1}}{u_{n}}}={\frac {u_{1}-u_{2}}{u_{1}}}+{\frac {u_{2}-u_{3}}{u_{3}}}+\cdots +{\frac {u_{n}-u_{n+1}}{u_{n}}}+\cdots$

(1)

è sempre divergente.

Si prenda infatti $k_{n}=u_{n+1}$; si troverà

$h_{n}=u_{n+1},\quad m_{n}=1$,

e quindi la serie sarà divergente.

Es. Si prenda $u_{n}={\frac {1}{n}}$, la serie (1) diviene la $\sum {\frac {1}{n}}$; e questa è divergente.

Si prenda ancora $u_{n}=\mathrm {sen} {\frac {x}{n}}$; la (1) diverrà

$2\sum {\frac {\cos \left\{{\dfrac {x}{2}}{\dfrac {2n+1}{n(n+1)}}\right\}\mathrm {sen} {\dfrac {x}{2n(n+1)}}}{\mathrm {sen} {\dfrac {x}{n}}}},$

e se ne concluderà che questa serie è divergente.

5. Se la serie $\sum u_{n}$ è convergente, la serie $\sum v_{n}=\sum {\frac {u_{n}}{R_{n}}}$ sarà divergente.