Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/9

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sulle serie a termini positivi 37
ove i logaritmi sono neperiani, e basterà perciò di studiare questa sola.

Ora per studiare questa si osservi che, essendo una quantità positiva, minore di 1, si ha


e quindi, prendendo , si avrà


e poichè i termini di non sono crescenti, evidentemente in ad potremo sostituire , e così si troverà


Facciamo ora in questa e supponiamo per comodo ; allora, sommando le diseguaglianze che ne risultano e l’altra


si troverà


e quindi poichè si ha


ove indica la base dei logaritmi neperiani, se ne dedurrà l’altra

(a)     
e questa ci condurrà subito al teorema.

Infatti, pel caso di negativa o nulla, si osserverà che da questa si hanno le seguenti