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8.2 - La distribuzione normale

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Vista la simmetria della funzione, tutti i suoi momenti di ordine dispari rispetto alla media sono nulli; mentre quelli di ordine pari soddisfano alla formula generale (valida per qualsiasi intero k)

$\mu _{2k}\;=\;E\left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{2k}\right\}\;=\;{\frac {(2k)!}{2^{k}\,k!}}\,{\mu _{2}}^{k}$

(8.5)

con

$\mu _{2}\;=\;E\left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{2}\right\}\;=\sigma ^{2}$.

Nel caso particolare di una variabile normale con valore medio $\mu =0$ e varianza $\sigma ^{2}=1$ (variabile normale standardizzata), la funzione generatrice dei momenti diventa

$M_{x}(t)\equiv {\overline {M}}_{x}(t)=e^{\frac {t^{2}}{2}}$

e la funzione caratteristica

$\phi _{x}(t)=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$.

Dimostriamo ora il seguente importante

Teorema: combinazioni lineari di variabili casuali normali e tutte statisticamente indipendenti tra loro sono ancora distribuite secondo la legge normale.

Siano N variabili normali $x_{k}$ (con $k=1,\ldots ,N$), e siano $\mu _{k}$ e ${\sigma _{k}}^{2}$ i loro valori medi e le loro varianze rispettivamente; consideriamo poi la nuova variabile casuale y definita dalla

$y=\sum _{k=1}^{N}a_{k}\,x_{k}$

(ove le $a_{k}$ sono coefficienti costanti). La funzione caratteristica di ognuna delle $x_{k}$ è, dalla (8.3),

$\phi _{x_{k}}(t)=e^{\left(it\mu _{k}-{\frac {{\sigma _{k}}^{2}t^{2}}{2}}\right)}$

e quella della variabile ausiliaria $\xi _{k}=a_{k}x_{k}$, dall’equazione (6.17),

$\phi _{\xi _{k}}(t)\;=\;\phi _{x_{k}}(a_{k}t)\;=\;e^{\left(ia_{k}t\mu _{k}-{\frac {{\sigma _{k}}^{2}{a_{k}}^{2}t^{2}}{2}}\right)}$.