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Capitolo 12 - La verifica delle ipotesi (I)

e, da queste, si ottiene infine che il valore medio e la varianza di una variabile casuale distribuita come il $\chi ^{2}$ a $N$ gradi di libertà sono

$E(X)=N$

e

${\text{Var}}(X)=2N$

mentre i coefficienti di asimmetria e di curtosi valgono

$\gamma _{1}=2{\sqrt {\frac {2}{N}}}$

e

$\gamma _{2}={\frac {12}{N}}$.

La distribuzione del $\chi ^{2}$ tende asintoticamente ad una distribuzione normale con la stessa media $N$ e la stessa varianza $2N$; infatti la funzione caratteristica della variabile standardizzata

$y\;=\;{\frac {X-N}{\sqrt {2N}}}\;=\;{\frac {X}{\sqrt {2N}}}-{\frac {N}{\sqrt {2N}}}$

vale, ricordando la (6.17),

$\phi _{y}(t)=e^{-{\frac {iNt}{\sqrt {2N}}}}\left[1-{\frac {2it}{\sqrt {2N}}}\right]^{-{\frac {N}{2}}}$.

Passando ai logaritmi naturali,

$\ln \phi _{y}(t)=-\,{\frac {iNt}{\sqrt {2N}}}-{\frac {N}{2}}\ln \left(1-{\frac {2it}{\sqrt {2N}}}\right)$

e, sviluppando in serie di McLaurin il logaritmo,

$\ln \phi _{y}(t)$	$=-{\frac {iNt}{\sqrt {2N}}}-{\frac {N}{2}}\left[-\,{\frac {2it}{\sqrt {2N}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {2it}{\sqrt {2N}}}\right)^{2}+{\mathcal {O}}\left(N^{-{\frac {3}{2}}}\right)\right]$
	$=-{\frac {t^{2}}{2}}+{\mathcal {O}}\left(N^{-{\frac {1}{2}}}\right)$

da cui

$\lim _{N\to \infty }\phi _{y}(t)=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$

che è appunto la funzione caratteristica di una distribuzione normale standardizzata.

In definitiva:

• Quando $N$ assume valori sufficientemente grandi, la distribuzione del $\chi ^{2}$ è ben approssimata da una distribuzione normale avente la stessa media $N$ e la stessa varianza $2N$; tale approssimazione si può ritenere in pratica già buona quando $N$ è superiore a 30.