Vai al contenuto

Postille ai libri de Sphaera et Cylindro di Archimede/Postille ai libri de Sphaera et Cylindro di Archimede

Da Wikisource.
../Avvertimento

IncludiIntestazione 23 settembre 2022 100% Da definire

Avvertimento
[p. 233 modifica]

A

Postille.


Del libro primo De sphera et cylindro di Archimede.

     Pag. 2, versi 21.

Verba lineata superflua esse videntur; nisi forte intelligatur1 ut in hac figura:

     Pag. 6, versi 29.

10 Cum

     Pag. 6, versi 31.

Circumscripta enim minorem habet rationem ad circulum, quam ad inscriptam.

     Pag. 7, versi 26.

fh


B

Citazioni delle Postille.





vel altera earum ab alterius superficie et recta, cosdem cum illa terminos habente, contineatur





Si enim circumscriptae






eh perpendicularem

[p. 234 modifica]

     Pag. 7, versi 38.

triangulorum

     Pag. 11, versi 26.

ʌ At spacium g non est minus2 sectionibus dictis.

     Pag. 13, versi 51.

Hic supponitur circulus a esse, cuius diameter cd.

     Pag. 15, versi 13.

Pro verbis lineatis est tantum legendum3: superficies cylindri (meo tamen iudicio). Non enim congrue colligetur consequentia, si dicamus: Superficies circa b ad figuram intra b minorem habet proportionem quam superficies circa cylindrum ad circulum b; ergo superficies circa cylindrum ad figuram intra b minorem proportionem habet, quam superficies cylindri ad circulum b. Sed bene concludetur, si dicatur: Superficies circa b ex positione habet4 ad superficiem intra b minorem proportionem, quam superficies cylindri ad circulum b; ideo superficies circa cylindrum (quae demonstrata est aequalis superficiei circa circulum) ad superficiem intra b minorem habebit rationem5, quam superficies cylindri ad circulum b.

     Pag. 15, versi 35.

in circulis ab

     Pag. 15, versi 41.

ʌ circulo b inscriptam



duplus habeatur triangulus



una cum g spacio. ʌ Reliquum est igitur




deinde circa circulum a circumscribatur rectilinea



quam habeat superficies rectilinea circa cylindrum aptata



















in circulo ab



quare et eandem ʌ minorem esse oportet

[p. 235 modifica]

     Pag. 15, versi 45.

Hoc patet6: si enim prima ad secundam minorem habeat proportionem7 quam 3a ad 4am et sit prima maior 2a, erit necessario 3a maior 4a.


     Pag. 16, versi 25.

ʌ potentia ʌ


     Pag. 17, versi 16 in circa.

Sit enim triangulus abc rectum angulum habens ad b, intra quem ducta sit recta ad8: dico, bc ad da9 maiorem habere rationem quam bd ad da. Ducatur enim de aequidistans ipsi ac. Erit ut bc ad ca, ita bd ad de: et est da maior ipsa de, cum dea angulus sit obtusus: constat ergo propositum.


     Pag. 18, versi 11.

Hoc autem sic patebit. Quoniam ut ba ad ag ita db ad df, erit contentum sub ba, df aequale contento sub db, ag: at contento sub ab, df aequantur contenta sub ad, df, et sub db, df: conten-



Maior igitur est figura rectilinea circulo b inscripta, quam sit cylindri superficies etc.





ad semidiametrum e ʌ, eandem etc.
























Et quoniam id quod ex ab in ag fit, aequatur his: ci quod fit ex bd in df, et ei quod fit ex ad in utramque df et ag etc.

[p. 236 modifica]

tum ergo sub bd, ag aequatur contentis sub ad, df et sub bd, df10. Ponatur commune contentum sub ad, ag. Contenta sub bd, ag, da, ag, hoc est contentum sub ba, ag, aequantur11 contentis sub bd, df, ad, df, da, ag: contentis autem sub ad, df, da, ag aequatur contentum sub ad et composita ex ag, df: contenta igitur sub bd, df, et sub ad et composita ex ag, df aequantur12 contento sub ba, ag.


     Pag. 25, versi 3.

Hoc ita esse, necessarium est; ad hoc ut inscripta figura ex conis duobus13 et ex conorum segmentis constet.

     Pag. 27, versi 8.

Ex 20 huius: si enim intelligas eductas14 gf, mn concurrere, habebis rombum constare15 ex conis; quorum bases est circulus circa mg, alterius autem vertex erit x16, alterius autem punctum extra circulum, in quo convenerint gf, mn eductae.}}

     Pag. 33, versi 26.

maior ʌ

     Pag. 35, versi 25.

Ex 22 huius: est enim ut le ad eh, ita omnes ef, cd', ak ad ipsam hk.

     Pag. 35, versi 28.

lh














cuius multitudo laterum numeretur a quaternario etc.













k vero ad g est ʌ ea quam








contento sub ah
[p. 237 modifica]

     Pag. 35, versi 31.

ʌ quae dimidia sphaera sit minor ʌ

     Pag. 37, versi 12.

recto angulo17

     Pag. 37, versi 13.

Nempe in 16 huius. Nam superficies sub fm, ng contenta (si ducta fuerit recta mn) aequatur circulo cuius semidiameter possit contentum sub fm et dimidiis18 mn, fg; superficies vero sub ma, nb compraehensa aequatur circulo cuius semidiameter possit contentum sub am et dimidiis mn, ab: hoc autem minus est contento sub fm et sub dimidiis19 mn, fg: quare etc.

     Pag. 39, versi 50.

Nam, permutando, circumscriptae superficies ad circulum f minorem habebit proportionem quam superficies inscriptae ad portionis superficiem; quod est absurdum. Nam circumscriptae superficies maior est circulo; inscriptae vero superficies minor est superficie portionis.

     Pag. 43, versi 11.

Est enim ut ca ad ab ita ab ad ae; hoc est ut ca quadratum ad quadratum 'ab, hoc est ut quadratum cb ad quadratum be, ita ca ad ae.}}

     Pag. 44, versi 3.

ʌ Hic videntur desiderari nonnulla verba, qualia essent: Quare kbhf pars coni aequatur cono n, hoc20 est frustro solido



Sphaerae inscripta ʌ quae conicis etc.



nam subtenditur rectae etc.



Nam haec sunt in his, quae sumpta fuerunt, demonstrata




















hoc est quadratum cb ad quadratum be.






circa bf diametrum constitutum ʌ
[p. 238 modifica]

bafh, posito communi bhf cono, totus conus bkf aequabitur portioni baf.

     Pag. 45, versi 22.

ʌ ita ut bc ad ca sit sicut f ad g

     Pag. 46, versi 13.

Est enim sicut kb ad br, ita dx ad xb: et dx maior ponitur ipsa xb: quare kr maior erit br.

     Pag. 51, versi 17.

Verba lineata superflua videntur esse: nam absque illis, dividendo et permutando21, patet propositum.

     Pag. 51, versi 21.

ʌ et, permutando,

     Pag. 51, versi 23.

Habet enim bk ad kf minorem proportionem22 quam ad kb; quare et componendo23.

     Pag. 51, versi 30.

Ostensum enim est, ut kf ad fg ita esse bf ad fd, hoc est ☐ ba ad ☐ ad, et superficies ad superficiem; ut autem hf ad fg, ita portio maior ad minorem.

     Pag. 51, versi 34.

Hoc autem sic patebit. Cum enim ☐ ba sit aequale contento sub hb,be, erit ut hb ad nb, ita ba ad bc, hoc est ad bk: et ut prima hb ad 3am bk'24', ita ☐ secundae






ad punctum e ʌ



Quod autem f extra v cadet, manifestum est.




sicut autem utraque simul eb, bf ad hf, sic fg ad fd.




sic gf m fd ʌ sicut etc.



ergo hb ad bk, sic kf ad fg. Et quoniam hf ad fk minorem proportionem habet, quam hb ad bk etc.



Hoc antem est quod quaerebamus.






Est igitur sicut hb ad bk, sic quadratum hn ad quadratum nk.

[p. 239 modifica]

nb ad ☐ 3ae bk, vel ut ☐ nb ad ☐ bk, ita ☐ hn ad ☐ nk. Cum enim sit25 ut hb ad bn, ita nb ad bk, erit et ut unum nb ad unum bk, ita omnia ad omnia26; nempe hn ad nk. Quare, et ut quadratum nb ad ☐ bk, hoc est ut hb ad bk, ita ☐ hn ad ☐ nk.

     Pag. 52, versi 1.

ʌ ut superius ostensum est in signo27 . Si enim ☐ primae ad ☐ secundae proportionem habeat maiorem quam sit proportio28 2ae ad 3am, proportio primae ad 3am erit maior quam sesquialtera proportionis 2ae ad 3am. Habeat enim ☐ hf ad ☐ fk maiorem rationem quam fk ad fg29: quam ergo rationem habet fk ad fg, hanc habebit ☐ minus ipso ☐ hf ad ☐ fk. Habeat ☐ xf, et sumatur inter fk, fg media o: erit ergo ut fk ad fg, ita ☐ fk ad ☐ o, et ☐ o ad ☐ fg, et ☐ xf ad fk. Sunt ergo ☐a xf, fk, o, fg proportionalia; quare et lineae. Habet ergo fx ad fg triplicatam rationem quam o ad fg: fh autem ad fg eiusdem duplam obtinet: quare xf ad fg sesquialteram rationem habet illius quam habet fk ad fg. Habet autem hf ad fg maiorem rationem quam xf ad fg: ergo proportio hf ad fg maior est quam sesquialtera proportionis fk ad eandem fg.

     Pag. 52, versi 26.

Est enim sicut ec cum ch ad ch30; ut ex progressu septimae huius patet31.










idem est quam kf ad fg.























Sed proportio bad portionis ad bad conum est sicut gh ad hc.

[p. 240 modifica]

     Pag. 52, versi 33.

Hoc est idem quod solidum, basim habens rectangulum gha, altitudinem autem ha.

     Pag. 52, versi 37.

Non colligit conclusionem, quae talis erit: Sed id quod fit ex quadrato ah in hg ad id quod fit ex quadrato hc in hf est sicut portio sphaerae maior ad minorem: ergo portio maior ad minorem, minorem habet proportionem quam ☐ ah ad ☐ hc; et proportio quadrati ah ad quadratum hc dupla est eius quae est quadrati ab ad quadratum bc, hoc est superficiei portionis bad ad superficiem portionis bcd. Cubus enim ad cubum triplicatam habet proportionem32 ab ad bc; superficies vero ad superficiem eandem habet duplicatam.

     Pag. 52, versi 45.

Proportio enim quadrati ah ad rectangulum bhc componitur ex proportione ah ad hb et ex proportione ah ad hc, hoc est quadrati ah ad quadratum hb.

     Pag. 53, versi 2.

Si enim quod fit ab extremis minus sit eo quod ex mediis producitur, tunc prima ad 2am minorem habebit proportionem33 quam 3a ad 4am.


     Pag. 53, versi 11.

Si enim reliquum ad reliquum maiorem habet proportionem34 quam ablatum



quae est eius quod fit ex gh in quadratum ha etc.



quam proportio quadrati ah ad quadratum hc.














Proportio autem quadrati ah ad quadratum hb, assumens simul proportionem ah ad hb, est sicut quadrati ah ad id, quod fit ex ch in hb.



quod idem est ac si demonstremus, quod quadratum hc ad id quod sub bh, hc continetur, minorem habet proportionem quam gh ad hf.




hoc est lc ad ha

[p. 241 modifica]

ad ablatum, et totum ad totum maiorem proportionem habuit quam ablatum ad ablatum.

     Pag. 53, versi 50.

ʌ Hic desiderantur haec verba: Sit igitur ab potentia dupla ipsius ar.

     Pag. 54, versi 10.

Quadrato35 enim ab aequatur contentum sub ca, ak, cuius dimidium est contentum sub cx, ak, cum cx aequetur dimidiae ca.

     Pag. 54, versi 13.

Positum est36 enim, ut xc ad ck ita ma ad ak. Quare, componendo, patet propositum.

     Pag. 54 al fine del Libro secondo.

Similiter in portione minori hemisphaerio demonstrabitur37, ☐ fh ad ☐ bd maiorem rationem38 habere quam mk ad nl; hoc est, ☐ fl ad ☐ bk maiorem rationem habere quam mk ad nl; hoc idem est, ☐ fe, idest ba39, ad ☐ bk maiorem rationem40 habere quam mk ad el, hoc est ad ar. Est autem ut ☐ ab ad ☐ bk, ita ac ad ck. Ostendendum ergo est, quod ac ad ck maiorem rationem habet quam mk ad ar; hoc est, quod contentum sub cr, ra maius41 est contento sub ck, mk, hoc est sub xk, ka; hoc est, quod cententum sub cr, ra, una cum quadrato.







quam dupla in potentia ʌ.




nam dimidium est quadrati ab





Et vero quod continetur sub xk, ka, aequatur id quod continetur sub mk, kc.
[p. 242 modifica]

ra, maius est contento sub ck, ka, una cum contento sub xc, ka. Verum □ ra aequatur contento sub xc, ka. Demonstrandum ergo est, contentum sub cr, ra maius esse contento sub ck, ka.




Note

  1. 7. intelligantur, V —
  2. 4. minor, S
  3. 10. est tamen legendum, S, V
  4. 21. demum stata est, S
  5. 26. circa b, S — habebit proportionem, V
  6. 2. Hoc est, S
  7. 3. habet rationem, V
  8. 10-11. sit ad, V
  9. 11. bc ad ca, V
  10. 4. sub bd, ag, hoc est, S
  11. 5. aequatur, S
  12. 10. aequatur, S, V
  13. 14. conis rombus ct, S
  14. 17. intelligatur adductas, V
  15. 18-19. constans, S
  16. 20-21. autem vento x erit x, S
  17. 4. recto angulo fam, V
  18. 12-13. sub dimidiis, S
  19. 13-14. minor est contendo sub dimidiis, S
  20. 32. cono enim hoc, S
  21. 11-12. permutando fit propositum, S
  22. 16-17. minorem rationem, V
  23. 17-18. quare componendo, V
  24. 28. 3am hk, S
  25. 3. erit et unum, V
  26. 4. ut omnia ad omnia, V
  27. 9. ad signum, V
  28. 11-12. sit ratio, V
  29. 15-17. quam fk ad fg hanc, V
  30. 32. ec ad ch, S
  31. 33. huius fit, S
  32. 16. triplam, V
  33. 27-28. habebit rationem, V
  34. 31. habet rationem, V
  35. 8. Quadratum, S
  36. 14-15. fit propositum, S
  37. 18. demum stabit, S — ad bd, V
  38. 18- 19. minorem rationem, S
  39. 22. fe in ba, S
  40. 22-23. minorem rationem, S
  41. 27-28. sub ca, ar maius, V