Ricerche di geometria analitica/06

by Eugenio Beltrami

Capitolo 6

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Eugenio Beltrami - Ricerche di geometria analitica (1879)

Capitolo 6

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§ 6.

Riprendiamo l’equazione (3) del § 4

(1)	$\sum {\frac {Au}{\lambda -a}}=0$,

e supponiamo che delle $n-2$ relazioni necessariamente sussistenti fra le $n+1$ funzioni lineari u, alcune soltanto, e non già tutte, abbiano la forma delle equazioni (4) del detto §, e precisamente sieno le $n-m$ seguenti:

(2)

$\sum {\frac {Au}{\lambda '-a}}=0$,

$\sum {\frac {Au}{\lambda ''-a}}=0$,

$\ldots$

$\sum {\frac {Au}{\lambda ^{n-m}-a}}=0$,

dove m è un numero intero che non può mai essere maggiore di n, nè minore di 2. In questo caso l’equazione (1) non ha che m radici $\lambda$ variabili colla posizione del punto $(xyz)$ e rappresenta quindi la tangente variabile di una linea razionale della classe m.

Eliminando le $2n-2$ quantità essenzialmente arbitrarie, comprese fra le A e le a, dalle $3(n-m)$ equazioni che si ottengono dalle (2) eguagliando separatamente a zero, in ciascuna, i coefficienti di x, y, z, rimangono

$n+1-(3m-1)$

relazioni fra le sole coordinate delle $n+1$ rette $u=0$. Di queste rette $3m-1$ sono dunque arbitrarie: ogni altra retta deve soddisfare ad una condizione per entrare a far parte d’un’equazione della forma (1), cioè per essere tangente d’una linea di classe m già toccata dalle prime $3m-1$ rette.

Ora una linea razionale tangenti di classe m è determinata da $3m-1$ tangenti arbitrarie¹: dunque l’equazione (1), accompagnata dalle relazioni (2), è atta a rappresentare la tangente variabile di qualunque linea razionale di classe m, colla sola condizione che il numero $n+1$ delle rette $u=0$ sia sempre maggiore di m.

Quando m è $>2$, le relazioni (2) non costituiscono che una parte delle $n-2$ relazioni lineari che devono sussistere fra le $n+1$ funzioni u. Ne rimangono ancora $m-2$, della forma

$\sum {cu=0}$,

dove le c sono costanti individuate, relazioni delle quali si deve tener conto al bisogno.

Le $n-m$ equazioni (2) si possono, col processo nel § precedente, compendiare in una sola: indicato

(3)	$\sum {\frac {A\psi (a)u}{\phi (a)}}=0$,

dove

$\phi (\lambda )=(\lambda -\lambda ')(\lambda -\lambda '')\ldots (\lambda -\lambda ^{(n-m)})$,

e $\psi (\lambda )$ è una funzione intera di $\lambda$, del grado $n-m-1$, a coefficienti arbitrarii.

Quest’equazione può servire alla determinazione di $n-m$ delle funzioni u per mezzo delle rimanenti $m+1$. Se, per fissare le idee, si vogliono esprimere le funzioni

$u_{m+1}$,

$u_{m+2},\ldots u_{n}$

per mezzo delle

$u_{0}$,

$u_{1},\ldots u_{m}$,

basta porre

$\chi (\lambda )=(\lambda -a_{m+1})(\lambda -a_{m+2})\ldots (\lambda -a_{n})$,

e fare successivamente nell’equazione (3)

$\psi (\lambda )={\frac {\chi (\lambda )}{\lambda -a_{m+1}}},\;={\frac {\chi (\lambda )}{\lambda -a_{m+2}}},\ldots ,={\frac {\chi (\lambda )}{\lambda -a_{n}}}.$

Si ottengono in tal modo le $n-m$ formole che risultano dalla seguente

(4)	$\sum _{k=0}^{k=m}{\frac {A_{k}\chi (a_{k})u_{k}}{(a_{k}-a_{p})\phi (a_{k})}}+{\frac {A_{p}\chi '(a_{p})u_{p}}{\phi (a_{p})}}=0$

facendo successivamente $p=m+1,m+2,\ldots n$; e queste permettono appunto di esprimere $u_{p}(p>m)$ per mezzo di $u_{0}$, $u_{1},\ldots u_{m}$.

Dall’equazione (4) si trae

$A_{p}u_{p}={\frac {\phi (a_{p})}{\chi '(a_{p})}}\sum _{0}^{m}{\frac {A_{k}\chi (a_{k})u_{k}}{(a_{p}-a_{k})\phi (a_{k})}}$,

donde, moltiplicando ambidue i membri per

${\frac {1}{\lambda -a_{p}}}$

e summando da $p=m+1$ fino a $p=n$,

$\sum _{m+1}^{n}{\frac {A_{p}u_{p}}{\lambda -a_{p}}}=\sum _{0}^{m}{\frac {A_{k}\chi (a_{k})u_{k}}{\phi (a_{k})}}\sum _{m+1}^{n}{\frac {\phi (a_{p})}{(\lambda -a_{p})(a_{p}-a_{k})\chi '(a_{p})}}$,

ossia

$\sum _{m+1}^{n}{\frac {A_{p}u_{p}}{\lambda -a_{p}}}=$

$=\sum _{0}^{m}{\frac {A_{k}\chi (a_{k})u_{k}}{(\lambda -a_{k})\phi (a_{k})}}\left\{\sum _{m+1}^{n}{\frac {\phi (a_{p}}{(\lambda -a_{p})\chi '(a_{p})-}}\sum _{m+1}^{n}{\frac {\phi (a_{p}}{(a_{k}-a_{p})\chi '(a_{p})}}\right\}$.

Nelle due somme fra parentesi si può scrivere $\phi (a_{p})-\chi (a_{p})$ in luogo di $\phi (a_{p})$, e, siccome la funzione $\phi (\lambda )-\chi (\lambda )$ è d’ordine inferiore a $\chi (\lambda )$, si può applicare alle somme stesse il lemma (II). Si ottiene così

$\sum _{m+1}^{n}{\frac {A_{p}u_{p}}{\lambda -a_{p}}}=\sum _{0}^{m}{\frac {A_{k}(a_{k})u_{k}}{(\lambda -a_{k}\phi (a_{k})}}\left\{{\frac {\phi (\lambda )}{\chi (\lambda )}}-{\frac {\phi (a_{k})}{\chi (a_{k})}}\right\}$

ossia finalmente

(5)	$\sum _{0}^{n}{\frac {A_{k}u_{k}}{\lambda -a_{k}}}={\frac {\phi (\lambda )}{\chi (\lambda )}}\sum _{0}^{m}{\frac {A_{k}\chi (a_{k})u_{k}}{(\lambda -a_{k})\phi (a_{k})}}$.

Da questa identità risulta che l’equazione primitiva (1), fra le $n+1$ rette $u_{0}=0$, $u_{1}=0,\ldots u_{n}=0$, equivale a quest’altra

(6)	$\sum _{0}^{m}{\frac {\chi (a_{k})}{\phi (a_{k})}}{\frac {A_{k}u_{k}}{\lambda -a_{k}}}=0$,

fra le sole $m+1$ rette $u_{0}=0$, $u_{1}=0,\ldots u_{m}=0$.

Notiamo che l’identità (5) può scriversi così:

$(\lambda -a_{0})(\lambda -a_{1})\ldots (\lambda -a_{n})\sum _{0}^{n}{\frac {A_{k}u_{k}}{\lambda -a_{k}}}$

$\left\{(\lambda -a_{0})(\lambda -a_{1})\ldots (\lambda -a_{m})\sum _{0}^{m}{\frac {\chi (a_{k})}{\phi (a_{k})}}{\frac {A_{k}u_{k}}{\lambda -a_{k}}}\right\}\times$

$\times (\lambda -\lambda ')(\lambda -\lambda -\lambda '')\ldots (\lambda -\lambda ^{n-m})$,

dalla quale è reso evidente che, ammesse le $n-m$ relazioni (2), il primo membro dell’equazione (1), liberato dai denominatori, si spezza effettivamente in due fattori, l’uno dei quali è il primo membro del l’equazione (6), pure liberato dai denominatori, e l’altro è il prodotto dei fattori lineari corrispondenti alle radici fisse $\lambda '$, $\lambda '',\ldots \lambda ^{(n-m)}$. Questo secondo fattore può essere soppresso, in quanto è indipendente dalle coordinate x, y, z del punto variabile, e così riesce manifesta l'equivalenza delle due equazioni l'una fra $n+1$, l'altra fra sole $m+1$ rette.

Notiamo ancora che se nella seconda di queste due equazioni, cioè nella (6), si fa $\lambda =a_{p}$, dove p è un indice $>m$, l'equazione stessa diventa

$\sum _{0}^{m}{\frac {\chi (a_{k})}{\phi (a_{k})}}{\frac {A_{k}u_{k}}{a_{p}-a_{k}}}=0$,

cioè (4)

$u_{p}=0$;

cosicchè si riconosce, anche a posteriori, che la nuova equazione (6), benchè non contenga più, esplicitamente, le rette $u_{m+1}=0$, $u_{m+2}=0,\ldots u_{n}=0$, non cessa tuttavia di riprodurne le equazioni in corrispondenza ai valori $a_{m+1}$, $a_{m+2},\ldots a_{n}$ di $\lambda$.

Per mostrare con un esempio l'utilità di questo processo, consideriamo il caso di una linea della 3^a classe individuata da otto sue tangenti $u_{1}=0$, $u_{2}=0,\ldots u_{8}=0$, e partiamo dall'equazione

${\frac {A_{1}u_{1}}{\lambda -a_{1}}}+{\frac {A_{2}u_{2}}{\lambda -a_{2}}}+\cdots +{\frac {A_{8}u_{8}}{\lambda -a_{8}}}=0$.

Facendo

P(A) = (λ — 2¹)(λ — λ¹) (λ — 2¹¹) (2 — 2¹³) , x(2) = (λ — a¸ ) (2 — a¸) ( 2 — a ‚ ) (λ — a¸ ) , risulta da quanto precede che quest' equazione ad otto termini è ridu cibile alla seguente a soli quattro :

-(aa )(α - a¸) ( α,k — a, ) (a, — αz8 ) Aµ µµ --2 (a —·λ¹ 2¹ )(α ) (a , — 2¹)(a, —— 2¹¹¹) ( aµ — 2¹) λ — a

0.

Se si introduce ora una relazione lineare arbitraria fra le quattro fun

1. Möbius Der barycentrische Calcul. Leipzig 1827 (p. 84).